Какова длина боковой поверхности вписанной в конус правильной треугольной пирамиды, если образующая конуса равна

Загадочный_Пейзаж

57

Для начала, построим рисунок задачи.

       /|          

    b / | h        

    /  |

   /___|

Здесь б - основание треугольной пирамиды, и оно является основанием конуса. h - это высота пирамиды, которая здесь также является образующей конуса. Нам нужно найти длину боковой поверхности пирамиды.

Известно, что основание пирамиды является правильным треугольником, поэтому все его стороны равны между собой. Обозначим длину стороны треугольника как a.

Теперь, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом основания и половиной стороны основания треугольника.

       /|

    b / |

    /  |

 h /___| a/2

Из этого треугольника мы можем применить тригонометрию, чтобы найти длину стороны a.

Синус угла между основанием и образующей конуса равен отношению высоты к образующей. Следовательно, \(\sin(60^\circ) = \frac{{h}}{{4}}\), откуда получаем \(h = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = 2 \sqrt{3}\).

Мы знаем, что в правильном треугольнике все стороны равны, поэтому \(a = 2 \cdot \frac{{b}}{{2}} = b\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, чтобы найти значение стороны a.

\(a^2 = (\frac{{b}}{{2}})^2 + h^2\),

\(b^2 = 4 + (2 \sqrt{3})^2 = 4 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\).

Квадратный корень из 16 равен 4, поэтому \(b = 4\).

Таким образом, длина боковой поверхности вписанной в конус правильной треугольной пирамиды равна периметру основания треугольника, а это значит, что она равна сумме длин трех сторон треугольника.

Длина боковой поверхности = \(a + a + a = 3a = 3b = 3 \cdot 4 = 12\) см.

Таким образом, длина боковой поверхности вписанной в конус правильной треугольной пирамиды составляет 12 см.