Какова длина боковой стороны равнобедренного треугольника, если угол при основании составляет 30°, а площадь равна 72√3

Sladkiy_Assasin_4887

61

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть равнобедренный треугольник, у которого угол при основании составляет 30°. Мы хотим найти длину боковой стороны этого треугольника.

Первое, что нужно сделать, это найти высоту треугольника. Высота треугольника — это отрезок, перпендикулярный основанию треугольника и проходящий через вершину, образующую угол 30°.

Давайте обозначим сторону треугольника, прилегающую к углу 30°, как \(a\). Поскольку треугольник равнобедренный, обе стороны, прилегающие к углу 30°, имеют одинаковую длину.

Теперь, чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать формулу площади треугольника:

\[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

Согласно условию задачи, площадь равна \(72\sqrt{3} \, \text{см}^2\). Подставляем это значение в формулу, считаем:

\[72\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times a \times \text{высота}\]

Чтобы рассчитать высоту, делим обе части уравнения на \(\frac{1}{2} \times a\):

\[\text{высота} = \frac{72\sqrt{3}}{\frac{1}{2} \times a} = \frac{144\sqrt{3}}{a}\]

Теперь нам нужно вспомнить свойство равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, образует прямой угол с основанием и в равной мере делит его на две части.

Таким образом, у нас получается, что высота треугольника также является биссектрисой, и она делит основание на две равные части. Поэтому мы можем сказать, что \(a = 2 \times \text{высота}\).

Подставляем это значение \(a\) обратно в выражение для высоты:

\[\text{высота} = \frac{144\sqrt{3}}{2 \times \text{высота}}\]

Убираем знаменатель и перемножаем обе части уравнения на \(\text{высота}\):

\[\text{высота}^2 = \frac{144\sqrt{3}}{2}\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[\text{высота} = \sqrt{\frac{144\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{72\sqrt{3}} = \sqrt{36 \times 2 \times \sqrt{3}}\]

Упрощаем выражение:

\[\text{высота} = 6\sqrt{2\sqrt{3}}\]

И теперь мы знаем значение высоты треугольника. Чтобы найти длину боковой стороны, мы можем использовать теорему Пифагора. В равнобедренном треугольнике, биссектриса также является медианой и высотой. Таким образом, мы получаем, что две стороны треугольника являются равными и отличаются только углами при основании.

Обозначим длину боковой стороны треугольника как \(b\). Тогда с помощью теоремы Пифагора можем написать:

\[b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\text{высота})^2\]

Подставляем значения \(a\) и \(\text{высота}\):

\[b^2 = (\frac{2 \times \text{высота}}{2})^2 + (\text{высота})^2 = \text{высота}^2 + \text{высота}^2 = 2 \times \text{высота}^2\]

Из предыдущего шага мы уже нашли значение для \(\text{высота}\):

\[b^2 = 2 \times (6\sqrt{2\sqrt{3}})^2 = 2 \times (36 \times 2 \times \sqrt{3}) = 144\sqrt{3}\]

И, наконец, извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[b = \sqrt{144\sqrt{3}} = \sqrt{72 \times 2 \times \sqrt{3}} = \sqrt{36 \times 2^2 \times \sqrt{3}}\]

Упрощаем выражение:

\[b = 6\sqrt{2\sqrt{3}}\]

Таким образом, мы получаем, что длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет \(6\sqrt{2\sqrt{3}}\) см.