Какова длина боковой стороны вравнобедренной трапеции, если известно, что косинус острого угла равен 1/4, а длины

Яхонт

67

Для решения данной задачи вам потребуется использовать определение косинуса острого угла и свойства равнобедренной трапеции.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике
\(\cos(\theta) = \frac{{\text{катет}}}}{{\text{гипотенуза}}}\)

В данной задаче у нас равнобедренная трапеция, поэтому боковая сторона равна одной из ее оснований. Обозначим длину боковой стороны буквой \(x\) и длину одного из оснований буквой \(y\). Так как боковая сторона является основанием, то векторы боковой стороны и одного из оснований будут составлять прямой угол.

Из свойства равнобедренной трапеции известно, что диагонали равны, то есть \(AB = CD = y\) (где \(AB\) и \(CD\) - диагонали трапеции).

Применим теорему косинусов к данной задаче. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(y\) и остроугольным углом в точке \(A\) у нас есть соотношение:
\(\cos(\theta) = \frac{{x}}{{y}}\)

Так как известно, что косинус острого угла равен \(\frac{1}{4}\), подставим данное значение в формулу:
\(\frac{1}{4} = \frac{{x}}{{y}}\)

Чтобы найти длину боковой стороны \(x\), нужно из этого уравнения выразить \(x\). Умножим обе части уравнения на \(y\):
\(\frac{{1}}{{4}} \cdot y = x\)

Таким образом, длина боковой стороны равна \(\frac{{1}}{{4}}\) от длины основания \(y\). Зная, что длина основания равна 5, подставим это значение:
\(x = \frac{{1}}{{4}} \cdot 5\)

Выполняя простые вычисления, получим ответ:
\(x = \frac{{5}}{{4}}\) или \(x = 1.25\)

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренной трапеции составляет 1.25 единицы длины.