Какова длина диагонали данного квадрата, если радиус окружности, вписанной в него, равен 6√2?

Маня

60

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства вписанных и центральных углов. Окружность, вписанная в квадрат, касается каждой из его сторон в одной точке. В данном случае, радиус окружности равен 6√2.

Давайте обозначим сторону квадрата через \(a\). Так как окружность касается сторон квадрата, мы можем провести радиус \(r\) от центра окружности к точкам касания.

Теперь обратимся к прямоугольному треугольнику, образованному между радиусом, диагональю квадрата и стороной квадрата. По свойствам прямоугольного треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы решить эту задачу.

В нашем треугольнике, сторона \(a\) является гипотенузой, а радиус \(r\) — одним из катетов. Давайте обозначим длину диагонали квадрата через \(d\).

Это означает, что мы можем записать уравнение по теореме Пифагора для этого треугольника:

\[a^2 = r^2 + d^2\]

Заменим известные значения:

\[a^2 = (6\sqrt{2})^2 + d^2\]

\[a^2 = 72 + d^2\]

Теперь нам нужно выразить длину \(d\). Для этого перепишем уравнение, вычитая \(72\) из обеих сторон:

\[d^2 = a^2 - 72\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти значение диагонали \(d\):

\[d = \sqrt{a^2 - 72}\]

Таким образом, длина диагонали квадрата равна \(\sqrt{a^2 - 72}\). Обратите внимание, что конкретное значение диагонали будет зависеть от известной длины стороны \(a\) квадрата. Если известна длина стороны квадрата \(a\), вы можете подставить это значение в формулу, чтобы найти конкретную длину диагонали.