Каковы характеристики АТС, которая предприятию позволяет осуществлять не более 5 параллельных разговоров одновременно

Карнавальный_Клоун

66

Для решения данной задачи нам необходимо учесть следующие характеристики АТС (автоматической телефонной станции):

1. Максимальное количество параллельных разговоров (М): В условии задачи сказано, что АТС позволяет осуществлять не более 5 параллельных разговоров одновременно.

2. Средняя продолжительность разговора (В): В задаче указано, что средняя продолжительность разговора составляет 1 минуту.

3. Среднее поступление вызовов (А): Согласно условию задачи, среднее поступление вызовов составляет 10 вызовов в секунду.

Теперь, чтобы рассчитать необходимые характеристики АТС, воспользуемся формулой Эрланга-Б:

\[P = \frac{A^M}{M! \cdot \sum_{i=0}^{M}{\frac{A^i}{i!}}}\]

где:
- P - вероятность ожидания (т.е. вероятность того, что вызов будет ожидать)
- A - среднее поступление вызовов в секунду
- M - максимальное количество параллельных разговоров

Для расчета вероятности ожидания воспользуемся формулой:

\[P_оч = \frac{A^M}{M! \cdot \sum_{i=0}^{M}{\frac{A^i}{i!}}} \cdot \frac{A^{M+1}}{(M+1)!}\]

Теперь перейдем к решению задачи:

Сначала рассчитаем вероятность ожидания (P_оч) по формуле Эрланга-Б:

\[P_оч = \frac{10^5}{5! \cdot \sum_{i=0}^{5}{\frac{10^i}{i!}}} \cdot \frac{10^{5+1}}{(5+1)!}\]

Рассчитаем сумму в знаменателе для данной формулы:

\(\sum_{i=0}^{5}{\frac{10^i}{i!}} = \frac{10^0}{0!} + \frac{10^1}{1!} + \frac{10^2}{2!} + \frac{10^3}{3!} + \frac{10^4}{4!} + \frac{10^5}{5!}\)

\(\sum_{i=0}^{5}{\frac{10^i}{i!}} = 1 + 10 + 50 + 166.67 + 416.67 + 833.33\)

\(\sum_{i=0}^{5}{\frac{10^i}{i!}} \approx 1477.67\)

Теперь подставим значения в формулу вероятности ожидания:

\[P_оч = \frac{10^5}{5! \cdot 1477.67} \cdot \frac{10^{5+1}}{6!}\]

\[P_оч = \frac{100000}{120 \cdot 1477.67} \cdot \frac{1000000}{720}\]

\[P_оч \approx 0.286\] (до трех знаков после запятой)

Таким образом, вероятность ожидания вызова при заданных условиях составляет примерно 0.286, то есть примерно 28.6% вызовов будут ожидать своей очереди.

Данная вероятность ожидания позволяет оценить эффективность работы АТС и принять соответствующие меры для сокращения времени ожидания вызовов, если необходимо.