Какова длина дуги одного витка кривой [tex]x = a(t - sint) y = a(1 - cost) z = 4 times a times cos frac{t}{2} [/tex

Vladislav

49

Для нахождения длины дуги одного витка кривой нам понадобится использовать формулу для длины кривой, заданной параметрически.

Длина дуги одного витка кривой, расположенной между двумя точками, можно найти с помощью следующего интеграла:

\[
L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt
\]

где \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{dy}{dt}\), \(\frac{dz}{dt}\) - производные соответствующих координат кривой по параметру \(t\), а \(t_1\) и \(t_2\) - значения параметра \(t\) в точках пересечения кривой с плоскостью xoz.

Чтобы найти производные, возьмем производные по очереди:

\[
\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos(t))
\]
\[
\frac{dy}{dt} = a\sin(t)
\]
\[
\frac{dz}{dt} = -2a\sin\left(\frac{t}{2}\right)
\]

Теперь подставим производные в формулу для длины:

\[
L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(a(1 - \cos(t))\right)^2 + \left(a\sin(t)\right)^2 + \left(-2a\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right)^2} dt
\]

Далее, раскроем квадраты и упростим выражение:

\[
L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2(2 - 2\cos(t)) + a^2\sin^2(t) + 4a^2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} dt
\]

\[
L = a \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{2 - 2\cos(t) + \sin^2(t) + 4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} dt
\]

Дальше произведем замену переменной \(u = \frac{t}{2}\), \(du = \frac{1}{2}dt\):

\[
L = 2a \int_{u_1}^{u_2} \sqrt{2 - 2\cos(2u) + \sin^2(2u) + 4\sin^2(u)} du
\]

Теперь мы можем проинтегрировать выражение численно или приближенно.