Каково количество вершин правильного многоугольника при условии, что: а) сторона многоугольника вдвое больше радиуса

Солнечный_Шарм_8680

32

Хорошо, рассмотрим каждую часть задачи по очереди:

а) Пусть сторона многоугольника равна $s$, а радиус вписанной окружности равен $r$. Требуется найти количество вершин правильного многоугольника.

Заметим, что правильный многоугольник можно разделить на $n$ равных секторов, где $n$ - количество вершин многоугольника. Каждый сектор - это равносторонний треугольник, у которого сторона равна $s$, а радиус вписанной окружности равен $r$.

В равностороннем треугольнике со стороной $s$ и радиусом вписанной окружности $r$ можно построить высоту, соединив центр окружности с серединой одной из сторон треугольника. Эта высота будет являться проведенной биссектрисой данного равностороннего треугольника.

Из свойств треугольника с биссектрисой известно, что она делит противолежащую сторону треугольника пропорционально двум другим сторонам. В данном случае высота будет делить сторону треугольника $s$ пополам.

Таким образом, получаем уравнение:

$\frac{s}{2}:r=r:s$

Делим обе части уравнения на $r$:

$\frac{s}{2r}=\frac{r}{s}$

Умножаем обе части уравнения на $2r$:

$s^2=2r^2$

Поскольку многоугольник является правильным, то все стороны равны между собой. Следовательно, можно записать:

$s=r$

Подставляем это значение в уравнение:

$r^2=2r^2$

Вычитаем $r^2$ из обеих частей уравнения:

$0=r^2$

Таким образом, получаем, что радиус вписанной окружности равен нулю. Однако, в данном случае нам необходимо, чтобы радиус был больше нуля, чтобы многоугольник существовал.

Следовательно, при данных условиях правильного многоугольника не существует.

б) Пусть радиус вписанной окружности равен $r$, а радиус описанной окружности равен $R$. Требуется найти количество вершин правильного многоугольника.

Рассмотрим правильный многоугольник с $n$ вершинами. Каждая вершина лежит на описанной окружности радиусом $R$.

Поделим угол между двумя соседними вершинами многоугольника на $2$ и рассмотрим получившийся треугольник. В этом треугольнике у нас есть радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$. Нам известно, что радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной окружности ($R=2r$).

Как мы уже знаем из свойств равностороннего треугольника, радиус описанной окружности соотносится с радиусом вписанной окружности следующим образом:

$\frac{r}{R}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь можем записать это отношение через известные значения:

$\frac{1}{2r}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Умножаем обе части уравнения на $2r$:

$1=2r\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{2}=r\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Умножаем обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}=r$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем найти количество вершин правильного многоугольника, обратившись к формуле Эйлера для многоугольников:

$n=\frac{2\pi }{\alpha }$, где $n$ - количество вершин, $\alpha$ - центральный угол между двумя соседними вершинами.

Центральный угол между двумя соседними вершинами равен $\frac{{360}^{\circ }}{n}$.

Подставляем значение угла:

$n=\frac{2\pi }{\frac{{360}^{\circ }}{n}}$

Преобразуем выражение:

$n=\frac{{360}^{\circ }\cdot n}{2\pi }$

Умножаем обе части уравнения на $\frac{2\pi }{n}$:

$2\pi ={360}^{\circ }$

Таким образом, получаем, что равенство выполняется, следовательно, нам подходит любое количество вершин $n$.

Итак, ответ: количество вершин правильного многоугольника может быть любым целым числом больше или равным 3.