Какова длина дуги плоской кривой с параметрическим уравнением x=e^t*sint, y=e^t*cost для значения параметра t от

Zagadochnyy_Zamok

38

Для проверки ваших знаний из курса математики и решения данной задачи, давайте вначале разберемся со смыслом параметрически заданной кривой.

Кривая, заданная параметрически, описывается с помощью двух функций \(x(t)\) и \(y(t)\), где параметр \(t\) принимает определенные значения. В данном случае, у нас имеется параметрическое уравнение кривой: \(x = e^t \sin(t)\) и \(y = e^t \cos(t)\), где \(t\) принадлежит промежутку от 0 до \(\frac{\pi}{2}\).

Для определения длины дуги \(s\) на кривой с параметрическим уравнением, мы может воспользоваться формулой интеграла длины дуги кривой:

\[s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2 + {\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2} dt\]

где \(t_1\) и \(t_2\) - начальное и конечное значения параметра \(t\), описывающие диапазон, по которому мы ищем длину дуги.

Давайте приступим к вычислению длины дуги.

Сначала посчитаем производные \(\frac{dx}{dt}\) и \(\frac{dy}{dt}\):

\[\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t \sin(t)) = e^t \cos(t) + e^t \sin(t)\]
\[\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t \cos(t)) = -e^t \sin(t) + e^t \cos(t)\]

Теперь составим значение под знаком корня в формуле интеграла:

\[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (e^t \cos(t) + e^t \sin(t))^2 + (-e^t \sin(t) + e^t \cos(t))^2\]

\[(e^t \cos(t) + e^t \sin(t))^2 + (-e^t \sin(t) + e^t \cos(t))^2 = e^{2t}(\cos^2(t) + \sin^2(t) + 2\sin(t)\cos(t) + \sin^2(t) - 2\sin(t)\cos(t) + \cos^2(t))\]

После сокращений получаем:

\[e^{2t}(\cos^2(t) + \sin^2(t) + \sin^2(t) + \cos^2(t)) = 2e^{2t}\]

Теперь можем составить интеграл для вычисления длины дуги:

\[s = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2e^{2t}} dt\]

Для упрощения интеграла, мы можем вынести константу \(\sqrt{2}\) из-под знака корня:

\[s = \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^t dt\]

Теперь можем проинтегрировать это выражение и найти значение длины дуги:

\[s = \sqrt{2} \cdot \left[e^t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2} \cdot (e^{\frac{\pi}{2}} - e^0)\]

Используя свойства экспоненты, можем упростить это выражение:

\[s = \sqrt{2} \cdot (e^{\frac{\pi}{2}} - 1)\]

Теперь мы имеем окончательный ответ:

Длина дуги плоской кривой с параметрическим уравнением \(x = e^t \sin(t)\), \(y = e^t \cos(t)\) для значения параметра \(t\) от 0 до \(\frac{\pi}{2}\) равняется \(\sqrt{2} \cdot (e^{\frac{\pi}{2}} - 1)\).