Какова длина гипотенузы АВ в треугольнике ABC, где угол С равен 90°, высота CD равна 3 см, а острый угол равен 30°?

Лунный_Ренегат

20

Для решения этой задачи, нам понадобится знание теоремы Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Давайте начнем с обозначения сторон треугольника ABC: сторона AB - гипотенуза треугольника, сторона BC - острый угол, и сторона AC - высота треугольника.

Мы знаем, что угол C равен 90 градусам, а высота CD равна 3 см. Также известно, что острый угол треугольника равен 30 градусам.

Для решения задачи, нам потребуется разделить треугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник ADC и треугольник BDC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что угол C равен 90 градусам, поэтому треугольник ADC является прямоугольным треугольником. Мы также знаем, что высота CD равна 3 см.

Так как CD - это катет треугольника ADC, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы AD. По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Поэтому, \(AD^2 = CD^2 + AC^2\).

Подставим известные значения в формулу: \(AD^2 = 3^2 + AC^2\).

Теперь рассмотрим треугольник BDC. Мы знаем, что угол BCD равен 90 градусам, поэтому треугольник BDC также является прямоугольным треугольником.

Мы знаем, что угол B треугольника ABC равен 30 градусам. Поскольку треугольник BCD является подмножеством треугольника ABC, угол BCD также равен 30 градусам.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника BDC, чтобы найти длину гипотенузы BD. Аналогично предыдущему шагу, мы получим: \(BD^2 = CD^2 + BC^2\).

Подставим известные значения в формулу: \(BD^2 = 3^2 + BC^2\).

Обратите внимание, что гипотенузы AD и BD - это одна и та же сторона треугольника ABC, поэтому мы можем установить равенство: \(AD = BD\).

Теперь, используя полученные уравнения для гипотенуз AD и BD, мы можем составить следующее уравнение:

\(AD^2 = BD^2\)

Значение, которое удовлетворяет этому уравнению, будет искомой длиной гипотенузы AB.

Продолжим уравнение: \(3^2 + AC^2 = 3^2 + BC^2\).

Сократим одинаковые слагаемые: \(AC^2 = BC^2\).

Теперь решим это уравнение относительно AC: \(AC = BC\).

Таким образом, мы узнали, что AC равна BC.

Следовательно, мы можем заключить, что длина гипотенузы AB будет равна длине стороны BC.

Таким образом, длина гипотенузы AB в треугольнике ABC равна длине стороны BC.