Какова длина гипотенузы данного треугольника, если катет, прилежащий к углу 30 градусов, равен 9 дм? Чему равны второй

Zolotaya_Pyl_1865

33

Данная задача относится к разделу геометрии, а точнее к применению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Давайте решим её пошагово.

Из условия задачи у нас имеется прямоугольный треугольник, где один из катетов равен 9 дм. Это означает, что угол между этим катетом и гипотенузой равен 30 градусов.

Сначала найдем длину гипотенузы. Для этого воспользуемся тригонометрической функцией синус. В прямоугольном треугольнике отношение длины противоположного катета к длине гипотенузы равно синусу угла, т.е.

\[\sin(30^\circ) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Зная, что противоположий катет равен 9 дм и что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), можем записать уравнение:

\[\frac{1}{2} = \frac{9\, \text{дм}}{{\text{гипотенуза}}}\]

Чтобы найти длину гипотенузы, перепишем уравнение:

\[\text{гипотенуза} = \frac{9\, \text{дм}}{\frac{1}{2}} = 18\, \text{дм}\]

Таким образом, длина гипотенузы равна 18 дм.

Далее, чтобы найти второй острый угол, мы можем воспользоваться тригонометрической функцией синус, tangens или cosine. В данной задаче нам подойдет tangens, так как нам известен противоположный и прилежащий катеты.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противоположного катета к длине прилежащего катета.

\[\tan(\text{второй угол}) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{прилежащий катет}}} = \frac{9\, \text{дм}}{18\, \text{дм}} = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем значение угла, воспользовавшись обратной функцией тангенса (арктангенсом) на калькуляторе. Найденное значение будет равным 26.565 градусов (округляем до трех десятичных знаков).

Таким образом, второй острый угол треугольника равен приблизительно 26.565 градусов.

Наконец, если мы знаем один катет (9 дм) и гипотенузу (18 дм), то можем найти второй катет, воспользовавшись теоремой Пифагора:

\[\text{второй катет} = \sqrt{{\text{гипотенуза}^2 - \text{первый катет}^2}} = \sqrt{{18^2 - 9^2}} = \sqrt{{180}} \approx 13.416\, \text{дм}\]

Таким образом, второй катет треугольника равен приблизительно 13.416 дм.