Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, если катет AC равен 10 см, а синус угла B равен 2/5?

Sverkayuschiy_Gnom_913

52

Чтобы найти длину гипотенузы \(BC\), нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2\]

Так как гипотенуза \(BC\) - это искомое значение, давайте назовем его \(x\). Значит, у нас будет:

\[x^2 = AB^2 + 10^2\]

Далее, нам нужно найти значение катета \(AB\). Мы знаем, что синус угла \(B\) равен \(\frac{2}{5}\), и по определению синуса, синус угла \(B\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае, \(AB\) - это противолежащий катет, а \(BC\) - это гипотенуза. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[\sin B = \frac{AB}{BC}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[\frac{2}{5} = \frac{AB}{x}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(AB\). Умножая обе части на \(x\), получим:

\[2x = 5AB\]

Делая обратное умножение на 5, получаем:

\[AB = \frac{2x}{5}\]

Теперь мы можем подставить это значение \(AB\) в предыдущее уравнение:

\[x^2 = \left(\frac{2x}{5}\right)^2 + 10^2\]

Возводим в квадрат обе части уравнения:

\[x^2 = \frac{4x^2}{25} + 100\]

Умножаем обе части на 25, чтобы избавиться от знаменателя:

\[25x^2 = 4x^2 + 2500\]

Вычитаем \(4x^2\) из обеих частей уравнения:

\[21x^2 = 2500\]

Делим обе части на 21:

\[x^2 = \frac{2500}{21}\]

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти значение \(x\):

\[x = \sqrt{\frac{2500}{21}}\]

Для удобства, можно представить числитель и знаменатель дроби в виде произведения квадратов:

\[x = \frac{50}{\sqrt{21}}\]

Округлив значение \(x\) до ближайшего целого числа, получаем:

\(x \approx 6.07\)

Таким образом, длина гипотенузы \(BC\) прямоугольного треугольника ABC при данных условиях примерно равна 6.07 см.