Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, если сторона BC равна 4 см и угол a составляет 30 градусов?

Sharik

21

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где сторона BC равна 4 см, а угол A составляет 30 градусов.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma) \]

Где:
- c - длина гипотенузы;
- a и b - длины катетов;
- \(\gamma\) - угол между катетами.

В нашем случае катет BC равен 4 см, угол A равен 30 градусов, а искомая гипотенуза обозначена как c.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[ c^2 = 4^2 + b^2 - 2 \cdot 4 \cdot b \cdot \cos(30^\circ) \]

Теперь рассмотрим правую часть уравнения. Так как угол A составляет 30 градусов, то \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение в формулу:

\[ c^2 = 4^2 + b^2 - 2 \cdot 4 \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Упростим полученное выражение:

\[ c^2 = 16 + b^2 - 4b\sqrt{3} \]

Теперь мы должны найти значение длины гипотенузы c. Для этого возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[ c = \sqrt{16 + b^2 - 4b\sqrt{3}} \]

Нам осталось найти значение длины гипотенузы, используя известную длину стороны BC равную 4 см. Подставим b = 4 в уравнение:

\[ c = \sqrt{16 + 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}} \]

Вычислим это выражение:

\[ c = \sqrt{16 + 16 - 16 \sqrt{3}} \]

\[ c = \sqrt{32 - 16 \sqrt{3}} \]

\[ c \approx 3.54 \, \text{см} \]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC составляет примерно 3.54 см.