Каков объём прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны 3 и 4, и через диагональ основания

Валентин

69

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать некоторые геометрические свойства прямоугольного параллелепипеда.

Для начала, давайте рассмотрим стороны основания прямоугольного параллелепипеда. По условию, они равны 3 и 4 (единицы измерения не указаны, поэтому мы предположим, что это сантиметры).

Мы также знаем, что через диагональ основания проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда, и образующая угол 45º с плоскостью основания. По сути, такая плоскость разделит параллелепипед на две части.

Найдем длину диагонали основания. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае, катеты равны 3 и 4. Применяя формулу, получаем:

\[\text{Длина диагонали основания} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.\]

Теперь рассмотрим плоскость, проведенную через эту диагональ. Мы знаем, что эта плоскость образует угол 45º c плоскостью основания. Поскольку основание – прямоугольник, у которого стороны равны 3 и 4, оно образует угол 90º. Таким образом, угол между плоскостью основания и плоскостью, проведенной через диагональ основания, равен 45º.

Поскольку плоскости параллельны, основание разделит прямоугольный параллелепипед на две пирамиды – одна находится над плоскостью основания, а другая – под ней. Эти пирамиды имеют одинаковые объемы.

Теперь мы можем рассмотреть только одну из пирамид. Если мы представим ее сечение, мы получим треугольник прямым углом.

Мы знаем, что угол между плоскостью, проходящей через диагональ основания параллелепипеда, и плоскостью основания, составляет 45º. Таким образом, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника.

Длина одной из катетов прямоугольного треугольника равна половине диагонали основания параллелепипеда, а другая катет равна стороне основания параллелепипеда.

Поэтому, в нашем случае, длина одного катета равна 5/2, а другая – 3.

Теперь мы можем найти площадь одного из таких треугольников. Формула для площади прямоугольного треугольника – половина произведения катетов.

\[\text{Площадь одного прямоугольного треугольника} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times 3 = \frac{15}{4}.\]

Так как объем пирамиды равен одной трети площади основания, умноженной на высоту, мы можем продолжить расчеты.

Разделим площадь прямоугольника пополам, чтобы найти площадь одного треугольника. Затем умножим эту площадь на высоту пирамиды. Высота равна длине основания параллелепипеда, то есть 4.

\[\text{Объем одной пирамиды} = \frac{1}{2} \times \frac{15}{4} \times 4 = \frac{15}{2}.\]

Учитывая, что объемы двух пирамид одинаковы, их сумма даст нам итоговый объем параллелепипеда.

\[\text{Объем параллелепипеда} = 2 \times \frac{15}{2} = 15.\]

Итак, ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 15 единицам объема (единицы измерения не указаны в задаче, но мы предположим, что это кубические единицы). Мы использовали пошаговое решение и объяснили каждый шаг, чтобы задача была понятна школьнику.