Як знайти основу BD рівнобедреного трикутника BCD, якщо відомо, що відрізок CF має довжину 5 см, а периметр трикутника

Nadezhda

42

Периметр рівнобедреного трикутника BCD складається з трьох однакових сторін трикутника, позначимо їх як a. Позначимо основу трикутника BCD як BD.

Оскільки треугольник BCD — рівнобедрений, ми знаємо, що сторони BC і CD мають однакову довжину.

Отже, периметр трикітника BCD дорівнює:

$$P=BC+CD+BD=a+a+BD=2a+BD$$

Ми також знаємо, що відрізок CF має довжину 5 см. Оскільки трикутник BCF є прямокутним, ми можемо скористатися теоремою Піфагора:

$$B{C}^2=B{F}^2+C{F}^2$$

Позначимо BF як x. Тоді ми можемо записати:

$$B{C}^2=x^2+5^2=x^2+25$$

Оскільки BC і CD мають однакову довжину, ми також можемо використовувати цю формулу для виразу CD:

$$C{D}^2=x^2+25$$

Так як периметр трикутника BCD дорівнює:

$$P=2a+BD$$

Також ми можемо записати, що сума довжин сторін трикутника BCF дорівнює периметру трикутника BCD:

$$BC+CF+BF=2a+BD$$

$$a+5+x=2a+BD$$

Отже, ми отримуємо систему рівнянь:

$$\{\begin{array}{l}B{C}^2=x^2+25\\ C{D}^2=x^2+25\\ a+5+x=2a+BD\end{array}$$

Наразі ми маємо систему рівнянь з трьома невідомими (x, a, BD).

Є декілька способів вирішення цієї системи рівнянь. Один з них — підставити значення BC і CD з першого та другого рівняння в третє рівняння і вирішити його щодо BD. Нехай ми зробимо саме так:

Підставимо значення BC і CD з перших двох рівнянь в третє рівняння:

$$a+5+x=2a+BD$$

$$x=2a+BD-a-5$$

$$x=a+BD-5$$

Після заміни x у третьому рівнянні отримаємо:

$$a+5+a+BD-5=2a+BD$$

$$2a=a+BD$$

$$a=BD$$

Таким чином, ми знаходимо, що основа BD рівнобедреного трикутника BCD дорівнює a, тобто a = BD.

Отже, основа BD рівнобедреного трикутника BCD дорівнює a, або ж, a = BD.