Какова длина хорды ab, если угол aob равен 120° и расстояние от центра o до хорды ab составляет

Ярус

6

Чтобы найти длину хорды \(ab\), нужно использовать связь между углом, системой координат и радиусом окружности. Для начала, давайте обозначим расстояние от центра окружности \(O\) до хорды \(ab\) как \(h\), а радиус окружности как \(r\).

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник \(AOC\), где \(OC\) является медианой треугольника \(AOB\). Поскольку угол \(AOB\) равен \(120^\circ\), то угол \(ACO\) будет равен \(30^\circ\) (поскольку \(AO\) и \(OC\) являются радиусами окружности). Так как треугольник \(ACO\) равнобедренный, то угол \(CAO\) также равен \(30^\circ\).

Мы знаем, что такие соотношения между углами существуют в треугольнике:

\[2 \cdot \text{Угол } CAB = 180^\circ - \text{Угол } CAO\]
\[2 \cdot \text{Угол } CAB = 180^\circ - 30^\circ\]
\[2 \cdot \text{Угол } CAB = 150^\circ\]

Таким образом, угол \(CAB\) равен \(75^\circ\).

Теперь, рассмотрим треугольник \(AOC\). Мы знаем, что угол \(ACO\) равен \(30^\circ\) и угол \(CAB\) равен \(75^\circ\). Из суммы углов треугольника, мы можем найти третий угол:

\[\text{Угол } AOC = 180^\circ - \text{Угол } AC0 - \text{Угол } CAB\]
\[\text{Угол } AOC = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ\]
\[\text{Угол } AOC = 75^\circ\]

Таким образом, треугольник \(AOC\) также является равнобедренным, и угол \(AOС\) равен \(75^\circ\).

Теперь мы можем применить теорему синусов к треугольнику \(AOC\), чтобы найти \(h\):

\[\frac{h}{\sin(\text{Угол } AOC)} = \frac{AO}{\sin(\text{Угол } CAO)}\]
\[\frac{h}{\sin(75^\circ)} = \frac{r}{\sin(30^\circ)}\]

Мы знаем, что угол \(75^\circ\) равен сумме углов \(30^\circ\) и \(45^\circ\) (так как треугольник \(AOC\) равнобедренный), и что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим значения:

\[\frac{h}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{r}{\frac{1}{2}}\]
\[h = \frac{r \cdot \sqrt{2}}{2}\]

Таким образом, длина хорды \(ab\) равна \(2h\):

\[ab = 2 \cdot h = 2 \cdot \frac{r \cdot \sqrt{2}}{2} = r \cdot \sqrt{2}\]

Итак, длина хорды \(ab\) равна \(r \cdot \sqrt{2}\) или \(2 \cdot r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) в абсолютном значении.