Какова длина хорды, которая ограничивает дугу кругового сектора и имеет площадь 9π см^2, если радиус окружности равен

Магический_Самурай

26

Для решения задачи мы можем использовать формулы, связанные с окружностями и секторами. Давайте начнем с первого вопроса.

1. Длина хорды ограничивает дугу кругового сектора, и мы знаем, что площадь этого сектора равна 9π см². Чтобы найти длину хорды, сначала нам нужно найти угол сектора. Это можно сделать, используя соотношение площади сектора и площади всей окружности.

Формула для нахождения площади кругового сектора:
\[S_{сектора} = \frac{{\theta}}{360} \cdot \pi r^2\]
где \(S_{сектора}\) - площадь сектора, \(\theta\) - центральный угол сектора в градусах, \(r\) - радиус окружности.

Мы знаем, что \(S_{сектора} = 9\pi\) и \(r = 6\), поэтому:
\[9\pi = \frac{{\theta}}{360} \cdot \pi \cdot 6^2\]
Упростили:
\[9 = \frac{{\theta}}{360} \cdot 36\]
Упростили еще раз:
\[\frac{{\theta}}{10} = 1\]
И, наконец:
\[\theta = 10\]

Теперь, когда мы знаем центральный угол сектора, мы можем найти длину хорды. Для этого воспользуемся формулой:

Длина хорды \(c\) можно найти с помощью радиуса \(r\) и центрального угла сектора \(\theta\):
\[c = 2r\sin\left(\frac{{\theta}}{2}\right)\]

Подставив значения, получим:
\[c = 2 \cdot 6 \cdot \sin\left(\frac{{10}}{2}\right)\]
Вычислив, получим:
\[c \approx 6.28 \, \text{см}\]

Таким образом, длина хорды, ограничивающей дугу кругового сектора, составляет примерно 6,28 см.

2. Для нахождения площади сегмента, ограниченного данной дугой, можно использовать формулу:

\[S_{сегмента} = \frac{{\theta}}{360} \cdot \pi r^2 - \frac{1}{2}c \cdot h\]

где \(S_{сегмента}\) - площадь сегмента, \(\theta\) - центральный угол сектора, \(r\) - радиус окружности, \(c\) - длина хорды, \(h\) - высота сегмента.

Мы уже знаем значения для \(\theta\) и \(r\), а длину хорды \(c\) мы только что нашли. Чтобы найти высоту сегмента \(h\), нам потребуется применить теорему Пифагора:

\[h = \sqrt{r^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2}\]

Решим и найдем значения:
\[h = \sqrt{6^2 - \left(\frac{6.28}{2}\right)^2}\]
\[h \approx 4.86 \, \text{см}\]

Теперь мы готовы найти площадь сегмента:
\[S_{сегмента} = \frac{{10}}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 - \frac{1}{2} \cdot 6.28 \cdot 4.86\]
\[S_{сегмента} \approx 21.89 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь сегмента, ограниченного данной дугой, составляет примерно 21,89 см².