Какова длина катета, противоположного углу в 30 градусов, в прямоугольном треугольнике с площадью 800√3?

Маня

70

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о прямоугольных треугольниках и тригонометрии. Давайте рассмотрим данный треугольник.

Пусть катет, противоположный углу в 30 градусов, имеет длину \(x\), а другой катет равен \(y\). Мы знаем площадь треугольника, которая равна \(800\sqrt{3}\).

Формула для площади прямоугольного треугольника составляет:
\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot Катет_1 \cdot Катет_2\]

Заменяя переменные значениями из условия задачи, мы получаем:
\[800\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\]

Теперь нам нужно выразить одну переменную через другую. Для этого мы можем использовать соотношение между длинами сторон и тангенсом угла.

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то есть:
\[\tan(30°) = \frac{Противолежащий \, катет}{Прилежащий \, катет}\]

Заменяя значения угла и прилежащего катета в этой формуле, получаем:
\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{y}\]

Теперь у нас есть две уравнение, которые связывают \(x\) и \(y\):
\[800\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\]
\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{y}\]

Мы можем решить данный систему уравнений, чтобы найти значения \(x\) и \(y\). Давайте это сделаем.

Умножим второе уравнение на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{x}{y} \cdot \sqrt{3}\]
\[\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x\sqrt{3}}{y}\]

Теперь мы можем заменить второе уравнение в первом уравнении:
\[800\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\]
\[800\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot y\right)\]

Упростим это уравнение:
\[800\sqrt{3} = \frac{x \cdot \sqrt{3} \cdot y}{2 \cdot 3}\]

Мы можем сократить на \(\sqrt{3}\) с обеих сторон:
\[800 = \frac{x \cdot y}{2 \cdot 3}\]

Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе стороны на 2 и на 3:
\[800 \cdot 2 \cdot 3 = x \cdot y\]
\[4800 = x \cdot y\]

Таким образом, мы получили новое уравнение:
\[4800 = x \cdot y\]

Теперь нам нужно найти такие два числа \(x\) и \(y\), произведение которых равно 4800. Мы можем использовать различные способы разложения числа 4800 на два множителя и посмотреть, какой из них будет подходить в данной задаче. Несколько пар множителей, которые равны 4800, следующие:
1 и 4800,
2 и 2400,
3 и 1600,
4 и 1200,
...
Найдём пару чисел, в которой одно число на \(\sqrt{3}\) больше другого. Попробуем взять пару чисел (48 и 100) и проверим уравнение:
\[48 \cdot 100 = 4800\]
\[48 \cdot\sqrt{3} \approx 83.07\]

Увы, данная пара чисел не подходит для нашей задачи, так как при умножении нет соответствия между числом и его увеличенным на \(\sqrt{3}\) значением.

Давайте попробуем другую пару чисел (60 и 80):
\[60 \cdot 80 = 4800\]
\[60 \cdot \sqrt{3} \approx 103.92\]

В этом случае мы получаем два числа, которые соответствуют соотношению, описанному в задаче. Таким образом, длина катета, противоположного углу в 30 градусов, равна 60.