Какова длина медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, если известно, что длина каждого

Магнит

49

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора и свойства треугольников.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник, в котором длина каждого катета равна \(a\). Для удобства обозначим длину гипотенузы как \(c\) и длины медианы, проведенной из вершины прямого угла, как \(m\).

Вспомним, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(\sqrt{a^2 + a^2}\), поскольку это следует из теоремы Пифагора.

Теперь мы можем воспользоваться свойствами медианы прямоугольного треугольника. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на две равные части. То есть, мы можем сказать, что длина одной половины гипотенузы равна \(\frac{c}{2}\).

Таким образом, мы можем записать уравнение:
\(\frac{c}{2} = m\)

Для нахождения длины медианы \(m\), нам нужно решить это уравнение относительно \(m\).

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\(c = 2m\)

Теперь заметим, что длина гипотенузы \(c\) равна \(\sqrt{a^2 + a^2}\).

Подставим это значение в уравнение:
\(\sqrt{a^2 + a^2} = 2m\)

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\(a^2 + a^2 = 4m^2\)

Сократим повторяющиеся слагаемые:
\(2a^2 = 4m^2\)

Разделим обе части уравнения на 2:
\(a^2 = 2m^2\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
\(a = \sqrt{2}m\)

И, наконец, разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\), чтобы выразить \(m\):
\(m = \frac{a}{\sqrt{2}}\)

Таким образом, мы получаем, что длина медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна \(\frac{a}{\sqrt{2}}\).