Какова длина медианы СМ треугольника АВС, если его вершины имеют координаты А (2; 6), В (–2; 4) и С (–3

Камень_4882

35

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему о медиане треугольника. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника со серединой противоположной стороны.

В первую очередь, нам необходимо найти координаты середины стороны AB. Для этого мы можем использовать формулу нахождения средней точки двух точек:

\[M_x = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[M_y = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставим значения:

\[M_x = \frac{{2 + (-2)}}{2} = 0\]
\[M_y = \frac{{6 + 4}}{2} = 5\]

Таким образом, координаты середины стороны AB равны (0, 5).

Далее, мы можем использовать формулу для нахождения уравнения медианы, проходящей через вершину C и середину стороны AB. Формула имеет вид:

\[y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек C и середины стороны AB соответственно.

Подставим значения:

\[y - 5 = \frac{{4 - 6}}{{-2 - 0}}(x - 0)\]

Упростим:

\[y - 5 = \frac{{-2}}{{-2}}x\]
\[y - 5 = -x\]
\[y = -x + 5\]

Таким образом, мы получаем уравнение медианы треугольника АВС: y = -x + 5.

Теперь нам необходимо найти точку пересечения медианы с стороной AC. Для этого мы устанавливаем y в уравнении равным 0 и решаем уравнение:

\[0 = -x + 5\]

Перенесем -x на другую сторону:

\[x = 5\]

Таким образом, точка пересечения медианы и стороны AC имеет координаты (5, 0).

Наконец, мы можем найти длину медианы СМ, используя расстояние между двумя точками. Формула для нахождения расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) имеет вид:

\[d = \sqrt{{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}}\]

Подставим значения:

\[d = \sqrt{{(5 - (-3))^2 + (0 - 6)^2}}\]
\[d = \sqrt{{8^2 + (-6)^2}}\]
\[d = \sqrt{{64 + 36}}\]
\[d = \sqrt{{100}}\]
\[d = 10\]

Таким образом, длина медианы СМ треугольника АВС равна 10.