Какова длина медианы треугольника ABC с вершинами в точках A(7, 6, -2), B(-3, 2, 6) и C(9, 0, -12)?

Raduga_Na_Nebe

37

Чтобы найти длину медианы треугольника ABC, сначала нужно найти координаты центроида, который является точкой пересечения медиан треугольника. Затем, используя координаты центроида и одну из вершин треугольника, мы можем рассчитать длину медианы с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

1. Найдем координаты центроида треугольника ABC.
Для этого мы можем использовать формулы для нахождения координат центроида:
$x_{centroid}=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$
$y_{centroid}=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$
$z_{centroid}=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$

Подставляя значения координат вершин треугольника:
$x_{centroid}=\frac{7+(-3)+9}{3}=\frac{13}{3}\approx 4.33$
$y_{centroid}=\frac{6+2+0}{3}=\frac{8}{3}\approx 2.67$
$z_{centroid}=\frac{(-2)+6+(-12)}{3}=\frac{-8}{3}\approx -2.67$

Таким образом, координаты центроида треугольника ABC равны приблизительно (4.33, 2.67, -2.67).

2. Теперь, имея координаты центроида и одну из вершин треугольника (скажем, вершину A), мы можем рассчитать длину медианы с помощью формулы расстояния между двумя точками.

Примем вершину A(7, 6, -2) и центроид G(4.33, 2.67, -2.67). Формула для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

$d=\sqrt{(x_A-x_G{)}^2+(y_A-y_G{)}^2+(z_A-z_G{)}^2}$

Подставляя значения:
$d=\sqrt{(7-4.33{)}^2+(6-2.67{)}^2+(-2-(-2.67){)}^2}$
$d=\sqrt{{2.77}^2+{3.33}^2+{0.67}^2}$
$d=\sqrt{7.67+11.09+0.4489}$
$d\approx \sqrt{18.2089}\approx 4.27$

Следовательно, длина медианы треугольника ABC приблизительно равна 4.27 (единицы измерения зависят от задачи).

Это детальное решение позволяет понять, каким образом находится длина медианы треугольника ABC с использованием центроида и формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.