Какова длина медианы треугольника ABC с вершинами в точках A(7, 6, -2), B(-3, 2, 6) и C(9, 0, -12)?

Raduga_Na_Nebe

37

Чтобы найти длину медианы треугольника ABC, сначала нужно найти координаты центроида, который является точкой пересечения медиан треугольника. Затем, используя координаты центроида и одну из вершин треугольника, мы можем рассчитать длину медианы с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

1. Найдем координаты центроида треугольника ABC.
Для этого мы можем использовать формулы для нахождения координат центроида:
\(x_{centroid} = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\)
\(y_{centroid} = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\)
\(z_{centroid} = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\)

Подставляя значения координат вершин треугольника:
\(x_{centroid} = \frac{7 + (-3) + 9}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.33\)
\(y_{centroid} = \frac{6 + 2 + 0}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67\)
\(z_{centroid} = \frac{(-2) + 6 + (-12)}{3} = \frac{-8}{3} \approx -2.67\)

Таким образом, координаты центроида треугольника ABC равны приблизительно (4.33, 2.67, -2.67).

2. Теперь, имея координаты центроида и одну из вершин треугольника (скажем, вершину A), мы можем рассчитать длину медианы с помощью формулы расстояния между двумя точками.

Примем вершину A(7, 6, -2) и центроид G(4.33, 2.67, -2.67). Формула для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

\(d = \sqrt{(x_A - x_G)^2 + (y_A - y_G)^2 + (z_A - z_G)^2}\)

Подставляя значения:
\(d = \sqrt{(7 - 4.33)^2 + (6 - 2.67)^2 + (-2 - (-2.67))^2}\)
\(d = \sqrt{2.77^2 + 3.33^2 + 0.67^2}\)
\(d = \sqrt{7.67 + 11.09 + 0.4489}\)
\(d \approx \sqrt{18.2089} \approx 4.27\)

Следовательно, длина медианы треугольника ABC приблизительно равна 4.27 (единицы измерения зависят от задачи).

Это детальное решение позволяет понять, каким образом находится длина медианы треугольника ABC с использованием центроида и формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.