Каково распределение числа сданных экзаменов студентом, который сдает 6 экзаменов в колледже, при условии

Svetlyachok

3

Данная задача относится к теории вероятностей и может быть решена с использованием биномиального распределения.

Для начала, давайте определимся с вероятностью сдачи экзамена. В данной задаче вероятность сдачи каждого экзамена составляет 0,5.

Распределение числа сданных экзаменов можно построить с помощью формулы биномиального распределения. Для каждого значения числа сданных экзаменов от 0 до 6 мы можем вычислить вероятность с помощью следующей формулы:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:
- \( P(X=k) \) - вероятность того, что студент сдаст ровно k экзаменов
- \( C_n^k \) - количество комбинаций, при которых можно сдать ровно k экзаменов из n возможных
- \( p \) - вероятность сдачи одного экзамена (в данном случае 0,5)
- \( n \) - общее количество экзаменов (в данной задаче 6)
- \( k \) - количество сданных экзаменов

Теперь давайте вычислим вероятности для каждого значения числа сданных экзаменов от 0 до 6:

При \( k = 0 \):
\[ P(X=0) = C_6^0 \cdot 0.5^0 \cdot (1-0.5)^{6-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.5^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.015625 = 0.015625 \]

При \( k = 1 \):
\[ P(X=1) = C_6^1 \cdot 0.5^1 \cdot (1-0.5)^{6-1} = 6 \cdot 0.5 \cdot 0.5^5 = 6 \cdot 0.5 \cdot 0.03125 = 0.09375 \]

При \( k = 2 \):
\[ P(X=2) = C_6^2 \cdot 0.5^2 \cdot (1-0.5)^{6-2} = 15 \cdot 0.25 \cdot 0.5^4 = 15 \cdot 0.25 \cdot 0.0625 = 0.234375 \]

При \( k = 3 \):
\[ P(X=3) = C_6^3 \cdot 0.5^3 \cdot (1-0.5)^{6-3} = 20 \cdot 0.125 \cdot 0.5^3 = 20 \cdot 0.125 \cdot 0.125 = 0.3125 \]

При \( k = 4 \):
\[ P(X=4) = C_6^4 \cdot 0.5^4 \cdot (1-0.5)^{6-4} = 15 \cdot 0.0625 \cdot 0.5^2 = 15 \cdot 0.0625 \cdot 0.25 = 0.234375 \]

При \( k = 5 \):
\[ P(X=5) = C_6^5 \cdot 0.5^5 \cdot (1-0.5)^{6-5} = 6 \cdot 0.03125 \cdot 0.5^1 = 6 \cdot 0.03125 \cdot 0.5 = 0.09375 \]

При \( k = 6 \):
\[ P(X=6) = C_6^6 \cdot 0.5^6 \cdot (1-0.5)^{6-6} = 1 \cdot 0.015625 \cdot 0.5^0 = 1 \cdot 0.015625 \cdot 1 = 0.015625 \]

Таким образом, мы получили ряд распределения величины числа сданных экзаменов студентом:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
k & P(X=k) \\
\hline
0 & 0.015625 \\
1 & 0.09375 \\
2 & 0.234375 \\
3 & 0.3125 \\
4 & 0.234375 \\
5 & 0.09375 \\
6 & 0.015625 \\
\hline
\end{array}
\]

Этот ряд распределения показывает вероятность сдачи каждого возможного количества экзаменов студентом при условии, что вероятность сдачи каждого экзамена равна 0,5.