Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если его площадь составляет 24, а тангенс одного из углов

Магия_Леса_2771

10

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся знаниями о прямоугольных треугольниках и их свойствах.

Пусть длина меньшего катета будет обозначена как \(x\).

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов, то мы можем записать уравнение:

\[\frac{1}{2} \times x \times y = 24,\]

где \(y\) - длина другого катета.

По условию задачи, тангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен 1/3. Мы знаем, что тангенс угла можно выразить как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:

\[\tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.\]

В нашем случае, мы можем записать:

\[\tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{1}{3}.\]

Теперь, используя полученные уравнения, мы можем решить задачу.

Перепишем уравнение:
\[\frac{1}{2} \times x \times y = 24.\]

Так как \(\frac{1}{2}\) и \(24\) - это константы, мы можем упростить уравнение:
\[x \times y = 48.\]

Теперь подставим полученное значение для \(\frac{y}{x}\):
\[\frac{y}{x} = \frac{1}{3}.\]

Мы можем переписать это в виде уравнения:
\[y = \frac{x}{3}.\]

Теперь подставим это значение в уравнение \(x \times y = 48\):
\[x \times \frac{x}{3} = 48.\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[\frac{x^2}{3} = 48.\]

Умножим обе части уравнения на 3:
\[x^2 = 144.\]

Возьмём квадратный корень от обеих сторон уравнения:
\[x = \sqrt{144}.\]

Разложим 144 на множители, чтобы получить более удобное значение:
\[x = \sqrt{16 \times 9} = 4 \times 3 = 12.\]

Таким образом, длина меньшего катета прямоугольного треугольника составляет 12.