Какова длина меньшего основания прямоугольной трапеции, если острый угол равен 45°, а меньшая боковая сторона равна

Solnechnyy_Feniks

53

Для решения данной задачи нам потребуется применить теорему косинусов.

Теорема косинусов утверждает, что в любом треугольнике с известными длинами сторон \(a\), \(b\) и \(c\) и известным углом \(\alpha\) (противолежащим стороне \(a\)) можно найти длину третьей стороны \(c\) с помощью следующего соотношения:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)\]

В нашем случае, треугольник образуется менее острым углом трапеции (45°), меньшей боковой стороной (15 см) и неизвестной меньшей основой. При этом большая основа служит второй стороной треугольника.

Обозначим неизвестную длину меньшего основания как \(x\). Тогда третья сторона треугольника будет равна 22 см (большая основа).

Применим теорему косинусов:

\[22^2 = 15^2 + x^2 - 2 \cdot 15 \cdot x \cdot \cos(45^\circ)\]

Раскроем косинус 45°: \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[484 = 225 + x^2 - 30x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Упростим выражение:

\[x^2 - \sqrt{2} \cdot 15 x + 259 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае: \(a = 1\), \(b = -\sqrt{2} \cdot 15\), \(c = 259\).

\[D = (-\sqrt{2} \cdot 15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 259\]

\[D = 450 - 1036\]

\[D = -586\]

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет рациональных корней.

Таким образом, у нас нет рационального значения для длины меньшего основания прямоугольной трапеции, при котором острый угол равен 45°, меньшая боковая сторона равна 15 см и большее основание равно 22 см.