Какова мера дуги окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, в градусах?

Добрый_Дракон

11

Для начала, вспомним некоторые особенности правильного треугольника. В правильном треугольнике все стороны равны между собой, а все углы равны 60 градусам.

Теперь давайте рассмотрим задачу. Мы имеем окружность, вписанную в правильный треугольник ABC. Вписанная окружность является окружностью, которая касается всех сторон треугольника.

Так как треугольник ABC правильный, то центром вписанной окружности будет являться центр треугольника. Обозначим центр окружности как точку O.

Теперь представьте себе радиус окружности и прямую линию, соединяющую центр окружности O с одной из вершин треугольника, например, с вершиной A. Эта прямая линия будет диаметром окружности.

Тогда мера дуги описанного около треугольника окружности будет равна 360 градусов. Длина одной дуги будет соответствовать длине половины окружности.

Так как треугольник ABC правильный, прямая линия, соединяющая центр окружности с любой из вершин, будет равна одной из его сторон. Обозначим эту длину как a.

Таким образом, длина половины окружности будет равна длине дуги, которую мы и ищем. Длина половины окружности также равна полупериметру треугольника.

Периметр треугольника равен 3a (так как все стороны равны), а полупериметр будет равен \( \frac{3a}{2} \).

Теперь, используя формулу для длины окружности (\( C = 2\pi r \)), где C - длина окружности, а r - радиус, найдем радиус окружности, вписанной в наш треугольник. Радиус равен полупериметру, деленному на \( 2\pi \).

\[ r = \frac{\frac{3a}{2}}{2\pi} = \frac{3a}{4\pi} \]

Таким образом, мера дуги окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, будет равна длине дуги, то есть длине половины окружности. Подставим значение радиуса для нашего случая:

\[ \text{Длина дуги} = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{3a}{4\pi} = \frac{3a}{2} \]

Ответ: Мера дуги окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, составляет \( \frac{3a}{2} \) градусов.