Какова длина меньшего основания равнобедренной трапеции, если ее большее основание равно 20, боковая сторона равна

Kiska

49

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла постоянно. В данном случае у нас равнобедренная трапеция, поэтому боковая сторона равна 8.

Давайте обозначим длину меньшего основания буквой \(x\). Значение синуса острого угла равного \(\sqrt{\frac{{87}}{{16}}}\) (16 не под корнем) равно отношению противолежащего к заданной стороне, то есть \(\frac{{8}}{{\sqrt{\frac{{87}}{{16}}}}}\).

Таким образом, у нас имеется следующее соотношение:
\[
\frac{{8}}{{\sqrt{\frac{{87}}{{16}}}}}} = \frac{{20 - x}}{{x}}
\]

Чтобы избавиться от знаменателя в левой части уравнения, умножим и числитель, и знаменатель на \(\sqrt{\frac{{16}}{{87}}}\):
\[
\frac{{8 \cdot \sqrt{\frac{{16}}{{87}}}}}{\frac{{\sqrt{\frac{{87}}{{16}}}}}{\sqrt{\frac{{87}}{{16}}}}}} = \frac{{20 - x}}{{x}}
\]

Из уравнения видно, что \(\sqrt{\frac{{16}}{{87}}}}\) сокращается с \(\sqrt{\frac{{87}}{{16}}}}\), а знаменатель в правой части уравнения также можно упростить:
\[
8 \cdot \frac{{\sqrt{{16 \cdot 16}}}}{{\sqrt{{87 \cdot 16}}}}} = \frac{{20 - x}}{{x}}
\]

Продолжим упрощение, получив:
\[
8 \cdot \frac{{16}}{{\sqrt{{87 \cdot 16}}}}} = \frac{{20 - x}}{{x}}
\]

Избавимся от знаменателя в левой части уравнения, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{{87 \cdot 16}}\):
\[
8 \cdot \frac{{16 \cdot \sqrt{{87 \cdot 16}}}}{{{\left( \sqrt{{87 \cdot 16}} \right)}^2}}} = \frac{{20 - x}}{{x}}
\]

Сокращаем, получая:
\[
8 \cdot \frac{{16 \cdot \sqrt{{87 \cdot 16}}}}{{87 \cdot 16}} = \frac{{20 - x}}{{x}}
\]

Далее, упрощаем числитель и делаем несколько вычислений:
\[
8 \cdot \frac{{16 \cdot 4 \cdot \sqrt{87}}}{{87 \cdot 16}} = \frac{{20 - x}}{{x}}
\]

Отвергнем равенство нулю:
\[
8 \cdot \frac{{4 \cdot \sqrt{87}}}{{87}} = \frac{{20 - x}}{{x}}
\]

Упрощаем числитель, получая:
\[
8 \cdot \frac{{4 \cdot \sqrt{87}}}{{87}} = \frac{{20}}{{x}} - 1
\]

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от кратного числа:
\[
\frac{{4 \cdot \sqrt{87}}}{{87}} = \frac{{20}}{{8x}} - \frac{{1}}{{8}}
\]

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю:
\[
\frac{{4 \cdot \sqrt{87}}}{{87}} = \frac{{20 - x}}{{8x}}
\]

Избавимся от знаменателя, умножив и числитель, и знаменатель на 87:
\[
4 \cdot \sqrt{87} \cdot 87 = (20 - x) \cdot 87
\]

После упрощения получим:
\[
348 \cdot \sqrt{87} = 1740 - 87x
\]

Перенесем все, что содержит \(x\), влево:
\[
87x + 348 \cdot \sqrt{87} = 1740
\]

Теперь выразим \(x\) в виде зависимости:
\[
87x = 1740 - 348 \cdot \sqrt{87}
\]

Поделим обе части на 87:
\[
x = \frac{{1740 - 348 \cdot \sqrt{87}}}{{87}}
\]

Таким образом, длина меньшего основания равнобедренной трапеции составляет \(\frac{{1740 - 348 \cdot \sqrt{87}}}{{87}}\) единиц длины. В результате численных вычислений получается значение около 6.099.