Какова длина меньшей стороны параллелограмма, если диагональ и большая сторона параллелограмма равны соответственно

Aleksandrovich

7

Чтобы найти длину меньшей стороны параллелограмма, нам потребуется использовать свойства параллелограмма, тригонометрии и теоремы Пифагора.

Дано: диагональ \(d = \sqrt{19}\) см, большая сторона \(a = 2\sqrt{3}\) см и острый угол \(A = 30^\circ\).

Чтобы начать, мы можем нарисовать параллелограмм и пометить известные значения:

\[
\begin{array}{cccc}
& & & \\
& \underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad} & \\
& & & \\
& & & \\
\sqrt{19}\, \text{см} & & & 2\sqrt{3}\, \text{см} \\
& & & \\
& & & \\
& & & \\
\end{array}
\]

Мы можем увидеть, что диагональ \(d\) делит параллелограмм на два равных треугольника. Пусть \(b\) будет меньшей стороной параллелограмма, и мы также обозначим высоту треугольника \(h\).

Теперь давайте воспользуемся первым свойством параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма равны.

Мы знаем, что большая сторона \(a\) является основанием одного из треугольников, поэтому Высота \(h\) будет перпендикулярна \(a\). Это означает, что высота \(h\) будет выстраиваться по вертикали сверху вниз слева направо и пересекаться с большей стороной \(a\). Таким образом, эта высота станет меньшей стороной параллелограмма \(b\), с которой мы работаем.

Мы можем нарисовать это:

\[
\begin{array}{cccc}
& & & \\
& \underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad} & \\
& & & \\
& & \uparrow & \\
& a & | & \\
& & h & \\
& & & \\
\sqrt{19}\, \text{см} & & & 2\sqrt{3}\, \text{см} \\
& & & \\
& & & \\
& & & \\
\end{array}
\]

Используя свойства прямоугольного треугольника, мы знаем, что \(h = a \cdot \sin(A)\), где \(A = 30^\circ\). Мы можем вычислить это значение:

\[
h = 2\sqrt{3}\, \text{см} \cdot \sin(30^\circ) = 2\sqrt{3}\, \text{см} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\, \text{см}
\]

Теперь у нас есть данные для использования теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(d\) и катетами \(h\) и \(b\) мы можем написать следующее:

\[
h^2 + b^2 = d^2
\]

Подставляем значения:

\[
(\sqrt{3}\, \text{см})^2 + b^2 = (\sqrt{19}\, \text{см})^2
\]

\[
3\, \text{см}^2 + b^2 = 19\, \text{см}^2
\]

Вычитаем \(3\, \text{см}^2\) с обеих сторон:

\[
b^2 = 16\, \text{см}^2
\]

Берем квадратный корень от обеих сторон:

\[
b = \sqrt{16\, \text{см}^2} = 4\, \text{см}
\]

Итак, длина меньшей стороны параллелограмма \(b\) равна 4 см.