Какова длина общей хорды двух взаимно перпендикулярных сечений, проведенных на расстояниях 4 и 3 от центра шара

Morskoy_Skazochnik

22

Давайте решим данную задачу поэтапно.

Шаг 1: Представьте себе сферу с центром в начале координат и радиусом \( \sqrt{34} \). Мы хотим найти длину общей хорды двух перпендикулярных сечений, проведенных на определенных расстояниях от центра.

Шаг 2: Расстояния, указанные в задаче, равны 4 и 3.

Шаг 3: Расстояние 4 указывает на точку на сфере, находящуюся на расстоянии 4 от центра. Давайте найдем координаты этой точки. Обозначим эту точку как \( A \).

Шаг 4: Используя теорему Пифагора в трехмерном пространстве, можем записать следующее уравнение:

\[ x^2 + y^2 + z^2 = (\sqrt{34})^2 \]

Шаг 5: Подставим значение расстояния 4 в уравнение и найдем значения координат \( A \). Пусть \( x_A, y_A, z_A \) - это координаты точки \( A \). Так как данная точка находится на расстоянии 4 от центра, то у нас есть следующие уравнения:

\[
\begin{align*}
x_A^2 + y_A^2 + z_A^2 &= (\sqrt{34})^2 \\
x_A^2 &= 4^2 \\
y_A^2 &= 0 \\
z_A^2 &= 0 \\
\end{align*}
\]

Отсюда получаем, что \( x_A = 4 \), \( y_A = 0 \), \( z_A = 0 \).

Шаг 6: Аналогичным образом найдем координаты точки \( B \), которая находится на расстоянии 3 от центра. И обозначим эти координаты как \( x_B, y_B, z_B \).

Шаг 7: Для перпендикулярных сечений координаты точек \( A \) и \( B \) должны удовлетворять уравнениям:

\[
\begin{align*}
x_A \cdot x_B + y_A \cdot y_B + z_A \cdot z_B &= 0 \\
x_A^2 + y_A^2 + z_A^2 &= (\sqrt{34})^2 \\
x_B^2 + y_B^2 + z_B^2 &= (\sqrt{34})^2 \\
\end{align*}
\]

Шаг 8: Подставим координаты \( A \) и \( B \) в эти уравнения и решим систему уравнений, чтобы найти координаты точки \( B \). После решения системы получим:

\[
\begin{align*}
x_B &= \frac{ -4 \cdot 4 }{ \sqrt{34} } \approx -3.294 \\
y_B &= 0 \\
z_B &= 0 \\
\end{align*}
\]

Шаг 9: Теперь у нас есть координаты точек \( A \) и \( B \), и мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве для нахождения длины общей хорды.

Формула для расстояния между двумя точками \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) в трехмерном пространстве:

\[ d = \sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 } \]

Подставим координаты точек \( A \) и \( B \) в эту формулу:

\[ d = \sqrt{ (-3.294 - 4)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 } \]

После вычислений мы получим значение длины общей хорды, округленное до нужного количества знаков после запятой.

Это шаг за шагом решение задачи.