Какова длина окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, если известен радиус вписанной окружности

Магнитный_Магнат

62

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать некоторые свойства правильного шестиугольника и окружности.

В правильном шестиугольнике все стороны равны между собой и все углы равны 120 градусам. Для вписанного в него круга, радиус ($r$) соединяет середины противоположных сторон шестиугольника.

Радиус вписанной окружности ($r$) и радиус описанной окружности ($R$) связаны следующим соотношением:

$$R=\frac{2r}{\sqrt{3}}$$

Давайте выведем это соотношение.

Рассмотрим одну из сторон шестиугольника. Она содержит два радиуса вписанного круга ($r$) и радиус описанного круга ($R$). Поскольку стороны правильного шестиугольника равны, получаем следующее равенство:

$$2r+2R=\text{{сторона шестиугольника}}$$

Учитывая, что сторона шестиугольника равна периметру шестиугольника, мы можем переписать это равенство следующим образом:

$$2r+2R=\text{{периметр шестиугольника}}$$

Так как периметр шестиугольника состоит из шести одинаковых сторон, можно записать:

$$2r+2R=6\cdot \text{{длина одной стороны}}$$

Так как все стороны шестиугольника равны, заменим $\text{{длину одной стороны}}$ на $s$:

$$2r+2R=6s$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$r+R=3s$$

Теперь заменим радиус описанной окружности ($R$) на выражение в терминах радиуса вписанной окружности ($r$):

$$r+\frac{2r}{\sqrt{3}}=3s$$

Упростим это уравнение, умножив обе части на $\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3}r+2r=3s\sqrt{3}$$

$$(2+\sqrt{3})r=3s\sqrt{3}$$

Теперь получим выражение для радиуса описанной окружности ($R$), разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$$R=\frac{2r}{\sqrt{3}}$$

Таким образом, мы получили связь между радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности в правильном шестиугольнике.

Теперь, чтобы найти длину окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, мы можем использовать формулу:

$$\text{{Длина окружности}}=2\pi R$$

Заменим значение радиуса описанной окружности ($R$):

$$\text{{Длина окружности}}=2\pi \left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)$$

Таким образом, длина окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равна $2\pi \left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)$.

Надеюсь, я смог подробно объяснить эту задачу и описать каждый шаг решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!