Какова длина окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, если известен радиус вписанной окружности

Магнитный_Магнат

62

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать некоторые свойства правильного шестиугольника и окружности.

В правильном шестиугольнике все стороны равны между собой и все углы равны 120 градусам. Для вписанного в него круга, радиус (\( r \)) соединяет середины противоположных сторон шестиугольника.

Радиус вписанной окружности (\( r \)) и радиус описанной окружности (\( R \)) связаны следующим соотношением:

\[ R = \frac{{2r}}{{\sqrt{3}}} \]

Давайте выведем это соотношение.

Рассмотрим одну из сторон шестиугольника. Она содержит два радиуса вписанного круга (\( r \)) и радиус описанного круга (\( R \)). Поскольку стороны правильного шестиугольника равны, получаем следующее равенство:

\[ 2r + 2R = \text{{сторона шестиугольника}} \]

Учитывая, что сторона шестиугольника равна периметру шестиугольника, мы можем переписать это равенство следующим образом:

\[ 2r + 2R = \text{{периметр шестиугольника}} \]

Так как периметр шестиугольника состоит из шести одинаковых сторон, можно записать:

\[ 2r + 2R = 6 \cdot \text{{длина одной стороны}} \]

Так как все стороны шестиугольника равны, заменим \(\text{{длину одной стороны}}\) на \(s\):

\[ 2r + 2R = 6s \]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[ r + R = 3s \]

Теперь заменим радиус описанной окружности (\( R \)) на выражение в терминах радиуса вписанной окружности (\( r \)):

\[ r + \frac{{2r}}{{\sqrt{3}}} = 3s \]

Упростим это уравнение, умножив обе части на \(\sqrt{3}\):

\[ \sqrt{3}r + 2r = 3s\sqrt{3} \]

\[ (2 + \sqrt{3})r = 3s\sqrt{3} \]

Теперь получим выражение для радиуса описанной окружности (\( R \)), разделив обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):

\[ R = \frac{{2r}}{{\sqrt{3}}} \]

Таким образом, мы получили связь между радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности в правильном шестиугольнике.

Теперь, чтобы найти длину окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, мы можем использовать формулу:

\[ \text{{Длина окружности}} = 2\pi R \]

Заменим значение радиуса описанной окружности (\( R \)):

\[ \text{{Длина окружности}} = 2\pi \left( \frac{{2r}}{{\sqrt{3}}} \right) \]

Таким образом, длина окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равна \( 2\pi \left( \frac{{2r}}{{\sqrt{3}}} \right) \).

Надеюсь, я смог подробно объяснить эту задачу и описать каждый шаг решения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!