Какова длина окружности, описанной вокруг правильного треугольника со значением радиуса 8 см? Каков периметр

Sarancha

62

Поставленная задача заключается в нахождении длины окружности, описанной вокруг правильного треугольника с радиусом 8 см, а также вычислении периметра и площади этого треугольника. Давайте решим задачу по шагам.

Шаг 1: Нахождение длины окружности, описанной вокруг треугольника.
Для нахождения длины окружности, описанной вокруг треугольника, нам потребуются некоторые знания о геометрии.

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. В таком треугольнике радиус описанной окружности равен длине стороны треугольника, т.е. 8 см.

Длина окружности вычисляется по формуле:

\[Длина\ окружности = 2 \cdot \pi \cdot r,\]

где \(r\) - радиус окружности, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3,14.

Подставляя значения, получим:

\[Длина\ окружности = 2 \cdot 3,14 \cdot 8 = 50,24 \ см.\]

Таким образом, длина окружности, описанной вокруг правильного треугольника со значением радиуса 8 см, составляет 50,24 см.

Шаг 2: Нахождение периметра треугольника.
Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон.

У нас есть правильный треугольник, у которого все стороны равны. Значит, длина каждой стороны равна 8 см.

Суммируя длины всех трех сторон, получаем:

\[Периметр\ треугольника = 8 \ см + 8 \ см + 8 \ см = 24 \ см.\]

Таким образом, периметр правильного треугольника равен 24 см.

Шаг 3: Нахождение площади треугольника.
Площадь правильного треугольника можно вычислить, зная его высоту и длину основания. В данной задаче не даны непосредственно значения высоты и длины основания. Однако, для правильного треугольника, высота является одновременно и медианой и биссектрисой и проходит через центр описанной окружности.

Радиус описанной окружности мы уже нашли — он равен 8 см. А высота, проведенная к основанию правильного треугольника, равна в полтора раза длине радиуса описанной окружности. Следовательно, высота составляет \(1.5 \cdot 8 = 12 \ см\).

Легко заметить, что правильный треугольник с основанием 8 см и высотой 12 см разбивается двумя высотами на 6 равнобедренных треугольников. Каждый из этих равнобедренных треугольников является прямоугольным треугольником с катетами 4 см (половина основания) и 12 см (высота). Следовательно, площадь одного треугольника можно найти по формуле:

\[Площадь\ прямоугольного\ треугольника = \frac{1}{2} \cdot \text{катет1} \cdot \text{катет2}.\]

Подставляя значения, получим:

\[Площадь\ прямоугольного\ треугольника = \frac{1}{2} \cdot 4 \ см \cdot 12 \ см = 24 \ см^2.\]

Так как у нас 6 таких треугольников, можно найти площадь всего треугольника:

\[Площадь\ треугольника = 6 \cdot 24 \ см^2 = 144 \ см^2.\]

Таким образом, площадь правильного треугольника составляет 144 см².

В итоге, ответ по задаче:
- Длина окружности, описанной вокруг правильного треугольника со значением радиуса 8 см, составляет 50,24 см.
- Периметр треугольника равен 24 см.
- Площадь треугольника составляет 144 см².