Какова длина отрезка AD, если на этом отрезке лежат три точки: B, C и N, и известно, что CN = 4,7, AB = 2,3, BN

Magicheskiy_Tryuk

70

Для того чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему косинусов. Давайте обозначим длину отрезка AD как x.

Используя теорему косинусов в треугольнике BAN, мы имеем:
\[x^2 = AB^2 + BN^2 - 2 \cdot AB \cdot BN \cdot \cos(\angle ABN)\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник BCN. У нас уже есть две стороны и угол между ними. Используем теорему косинусов в этом треугольнике:
\[CN^2 = BC^2 + BN^2 - 2 \cdot BC \cdot BN \cdot \cos(\angle BNC)\]

Мы знаем длины сторон CN и AB, и мы хотим найти длину AD. Посмотрим, есть ли соотношение между углами ABN и BNC. Заметим, что эти углы противоположны стороне BN. Поэтому \(\angle ABN = \angle BNC\). Обозначим это угол как \(\theta\).

Теперь мы можем записать выражения для обоих углов в терминах \(\theta\):
\(\cos(\angle ABN) = \cos(\theta)\)
\(\cos(\angle BNC) = \cos(\theta)\)

Таким образом, мы можем переписать уравнения, используя эту информацию:
\[x^2 = AB^2 + BN^2 - 2 \cdot AB \cdot BN \cdot \cos(\theta)\]
\[CN^2 = BC^2 + BN^2 - 2 \cdot BC \cdot BN \cdot \cos(\theta)\]

Теперь мы замечаем, что \(BC = x + AB\), так как точка C находится на отрезке AD. Подставим это в уравнение для CN:
\[CN^2 = (x + AB)^2 + BN^2 - 2 \cdot (x + AB) \cdot BN \cdot \cos(\theta)\]

Подставим известные значения:
\[4,7^2 = (x + 2,3)^2 + 5,8^2 - 2 \cdot (x + 2,3) \cdot 5,8 \cdot \cos(\theta)\]
\[22,09 = x^2 + 4,6x + 5,29 + 33,64 - 23,48x + 10,46 \cdot \cos(\theta)\]

Упростим уравнение:
\[x^2 + 27,08x + 4,59 \cdot \cos(\theta) + 15,43 = 0\]

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя формулу дискриминанта:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 1\), \(b = 27,08\), \(c = 4,59 \cdot \cos(\theta) + 15,43\).

После вычислений получим два возможных значения для x. Из того факта, что x является длиной отрезка, мы выберем только положительное значение, так как длина не может быть отрицательной.

Таким образом, длина отрезка AD равна одному из найденных значений для x.