Какова длина отрезка AD, если радиус цилиндра a равен 8 см, градусная мера дуги AmD составляет 120 градусов и плоскость

Morskoy_Korabl

28

Для того чтобы определить длину отрезка AD, нам необходимо рассмотреть некоторые свойства цилиндра и использовать известные данные.

В данной задаче имеется цилиндр с радиусом a, равным 8 см. У нас также есть плоскость γ, которая параллельна оси цилиндра и отсекает от окружности основания дугу AmD, которая составляет 120 градусов.

Первым шагом для решения данной задачи будет нахождение длины дуги AmD. Для этого воспользуемся формулой для вычисления длины дуги окружности:

\[L = \frac{{\theta}}{{360}} \cdot 2\pi r\]

Где L - длина дуги, \(\theta\) - градусная мера дуги, r - радиус окружности.

Подставив известные значения, получаем:

\[L = \frac{{120}}{{360}} \cdot 2\pi \cdot 8\]

Выполняем вычисления:

\[L = \frac{{1}}{{3}} \cdot \frac{{22}}{{7}} \cdot 8\]

Раскрываем дробь:

\[L = \frac{{22}}{{21}} \cdot 8\]

Дальше выполняем умножение:

\[L = \frac{{176}}{{21}}\]

Таким образом, длина дуги AmD равна \(\frac{{176}}{{21}}\) см.

Теперь, чтобы определить длину отрезка AD, нам необходимо воспользоваться связью между длиной дуги и длиной хорды.

Для окружности, радиус которой a, и длины дуги L, длина хорды c может быть вычислена следующим образом:

\[c = 2a \sin\left(\frac{{L}}{{2a}}\right)\]

Подставляем известные значения:

\[c = 2 \cdot 8 \cdot \sin\left(\frac{{\frac{{176}}{{21}}}}{{2 \cdot 8}}\right)\]

Раскрываем дробь и выполняем вычисления:

\[c = 16 \cdot \sin\left(\frac{{22}}{{21}}\right)\]

Таким образом, длина отрезка AD составляет \[16 \cdot \sin\left(\frac{{22}}{{21}}\right)\] см. Это и есть окончательный ответ на задачу.