Какова длина отрезка DE, где AC является диаметром окружности, пересекающейся с двумя другими сторонами треугольника?

Путник_По_Времени

4

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему о касательной, проведённой к окружности из точки касания. Позвольте мне объяснить эту теорему школьному уровню.

Теорема о касательной гласит, что если из внешней точки к окружности провести касательную, то она будет перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Теперь, применим эту теорему для решения задачи.

Пусть точки A, B, C и D образуют треугольник, где AC является диаметром окружности. Проведём отрезок CE, который пересекает окружность в точке D.

Так как AC является диаметром окружности, то угол ADC равен 90 градусов, так как любой треугольник, у которого сторона является диаметром окружности, всегда будет прямоугольным.

Теперь, применим теорему о касательной, чтобы составить уравнение для отрезка DE.

Из теоремы о касательной следует, что угол ADE также равен 90 градусов, так как он образован касательной DE и радиусом AD, проведённым из точки касания D.

Так как угол ADC и угол ADE прямые, то треугольник ADE является прямоугольным.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADE, мы можем составить уравнение:

$$A{D}^2=A{E}^2+D{E}^2$$

Так как AD является радиусом окружности, и радиус равен половине диаметра, мы можем записать:

$${\frac{AC}{2}}^2=A{E}^2+D{E}^2$$

Поскольку AC является диаметром, то она равна удвоенному радиусу, и мы можем записать:

$$A{C}^2=4A{E}^2+4D{E}^2$$

Теперь давайте решим уравнение относительно DE.

$$4D{E}^2=A{C}^2-4A{E}^2$$

$$D{E}^2=\frac{A{C}^2-4A{E}^2}{4}$$

$$DE=\sqrt{\frac{A{C}^2-4A{E}^2}{4}}$$

Таким образом, длина отрезка DE равна $\sqrt{\frac{A{C}^2-4A{E}^2}{4}}$.