Если площадь треугольника MNK равна 10 в корне 3 и MN = 4 в корне 3, то какова величина угла N, расположенного напротив

Sherhan

31

Обозначим за $x$ длину стороны NK и за $y$ длину стороны MK. Тогда используя формулу для площади треугольника $\text{площадь}=\frac{1}{2}\times \text{основание}\times \text{высоту}$, мы можем записать уравнение для площади треугольника MNK:

$$\frac{1}{2}\times x\times y=10\sqrt{3}$$

Учитывая, что MN = 4$\sqrt{3}$, по теореме Пифагора можем выразить значение $y$ через $x$ следующим образом:

$$y=\sqrt{(4\sqrt{3}{)}^2-x^2}$$

Подставим это значение в уравнение площади треугольника:

$$\frac{1}{2}\times x\times \sqrt{(4\sqrt{3}{)}^2-x^2}=10\sqrt{3}$$

Теперь возведем это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$$\frac{1}{4}{x}^2\times [(4\sqrt{3}{)}^2-x^2]=(10\sqrt{3}{)}^2$$

$$\frac{1}{4}{x}^2\times [48-x^2]=300$$

$$x^2(48-x^2)=1200$$

$$48x^2-x^4=1200$$

Получили квадратное уравнение $x^4-48x^2+1200=0$. Чтобы найти корни этого уравнения и, следовательно, значения стороны $x$, можно воспользоваться методом подстановки или графическим решением. В данном случае, мы можем заметить, что если $x=\sqrt{30}$, то $x^2=30$, и $48-x^2=18$. Подставим эти значения обратно в уравнение:

$${\sqrt{30}}^4-48{\sqrt{30}}^2+1200=0$$

$${30}^2-48\times 30+1200=0$$

$$900-1440+1200=0$$

$$900-900=0$$

Уравнение выполняется для $x=\sqrt{30}$. Таким образом, сторона $NK$ равна $\sqrt{30}$, а сторона $MK$ равна $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

Теперь, чтобы найти угол $N$ напротив меньшей стороны $MN$, мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов утверждает, что для треугольника со сторонами длиной $a$, $b$ и $c$, и противолежащими углами $\mathrm{\angle }A$, $\mathrm{\angle }B$ и $\mathrm{\angle }C$ соответственно, выполняется следующее отношение:

$$\frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}=\frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}=\frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}$$

В нашем случае, мы знаем, что $MN=4\sqrt{3}$ и что угол $N$ - противолежащий угол к стороне $MN$. Поэтому мы можем записать:

$$\frac{4\sqrt{3}}{\sin \mathrm{\angle }N}=\frac{\sqrt{30}}{\sin \mathrm{\angle }M}$$

Мы также знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов ($\mathrm{\angle }M+\mathrm{\angle }N+\mathrm{\angle }K=180$), поэтому:

$$\mathrm{\angle }K=180-(\mathrm{\angle }M+\mathrm{\angle }N)$$

Теперь мы можем использовать тригонометрический круг и соответствующие оценки синуса, чтобы решить уравнение и найти угол $N$. В этом случае мы обнаружим, что $\sin \mathrm{\angle }M=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \mathrm{\angle }N=\frac{1}{2}$. Подставим эти значения в наше уравнение:

$$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{30}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$\frac{4\sqrt{3}\times 2}{1}=\frac{\sqrt{30}\times 2}{\sqrt{3}}$$

$$8\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{3}}$$

$$8\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

$$8\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{30}\times \sqrt{3}}{3}$$

$$8\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{90}}{3}$$

$$8\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{9\times 10}}{3}$$

$$8\sqrt{3}=\frac{2\times 3\sqrt{10}}{3}$$

$$8\sqrt{3}=2\sqrt{10}$$

Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{10}=4$. Поэтому сторона $NK$ равна $\sqrt{30}$, а сторона $MK$ равна $4$. Угол $N$ расположенный напротив меньшей стороны, будет иметь синус, равный $\frac{1}{2}$. Из тригонометрической окружности мы можем найти, что угол $N$ равен 30 градусам.