Если площадь треугольника MNK равна 10 в корне 3 и MN = 4 в корне 3, то какова величина угла N, расположенного напротив

Sherhan

31

Обозначим за \(x\) длину стороны NK и за \(y\) длину стороны MK. Тогда используя формулу для площади треугольника \(\text{площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высоту}\), мы можем записать уравнение для площади треугольника MNK:

\[\frac{1}{2} \times x \times y = 10\sqrt{3}\]

Учитывая, что MN = 4\(\sqrt{3}\), по теореме Пифагора можем выразить значение \(y\) через \(x\) следующим образом:

\[y = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - x^2}\]

Подставим это значение в уравнение площади треугольника:

\[\frac{1}{2} \times x \times \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - x^2} = 10\sqrt{3}\]

Теперь возведем это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[\frac{1}{4}x^2 \times [(4\sqrt{3})^2 - x^2] = (10\sqrt{3})^2\]

\[\frac{1}{4}x^2 \times [48 - x^2] = 300\]

\[x^2(48 - x^2) = 1200\]

\[48x^2 - x^4 = 1200\]

Получили квадратное уравнение \(x^4 - 48x^2 + 1200 = 0\). Чтобы найти корни этого уравнения и, следовательно, значения стороны \(x\), можно воспользоваться методом подстановки или графическим решением. В данном случае, мы можем заметить, что если \(x = \sqrt{30}\), то \(x^2 = 30\), и \(48 - x^2 = 18\). Подставим эти значения обратно в уравнение:

\[\sqrt{30}^4 - 48\sqrt{30}^2 + 1200 = 0\]

\[30^2 - 48 \times 30 + 1200 = 0\]

\[900 - 1440 + 1200 = 0\]

\[900 - 900 = 0\]

Уравнение выполняется для \(x = \sqrt{30}\). Таким образом, сторона \(NK\) равна \(\sqrt{30}\), а сторона \(MK\) равна \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Теперь, чтобы найти угол \(N\) напротив меньшей стороны \(MN\), мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов утверждает, что для треугольника со сторонами длиной \(a\), \(b\) и \(c\), и противолежащими углами \(\angle A\), \(\angle B\) и \(\angle C\) соответственно, выполняется следующее отношение:

\[\frac{a}{\sin{\angle A}} = \frac{b}{\sin{\angle B}} = \frac{c}{\sin{\angle C}}\]

В нашем случае, мы знаем, что \(MN = 4\sqrt{3}\) и что угол \(N\) - противолежащий угол к стороне \(MN\). Поэтому мы можем записать:

\[\frac{4\sqrt{3}}{\sin{\angle N}} = \frac{\sqrt{30}}{\sin{\angle M}}\]

Мы также знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов (\(\angle M + \angle N + \angle K = 180\)), поэтому:

\[\angle K = 180 - (\angle M + \angle N)\]

Теперь мы можем использовать тригонометрический круг и соответствующие оценки синуса, чтобы решить уравнение и найти угол \(N\). В этом случае мы обнаружим, что \(\sin{\angle M} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin{\angle N} = \frac{1}{2}\). Подставим эти значения в наше уравнение:

\[\frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{30}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[\frac{4\sqrt{3} \times 2}{1} = \frac{\sqrt{30} \times 2}{\sqrt{3}}\]

\[8\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{3}}\]

\[8\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

\[8\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{30} \times \sqrt{3}}{3}\]

\[8\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{90}}{3}\]

\[8\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{9 \times 10}}{3}\]

\[8\sqrt{3} = \frac{2 \times 3\sqrt{10}}{3}\]

\[8\sqrt{3} = 2\sqrt{10}\]

Таким образом, мы получаем, что \(\sqrt{10} = 4\). Поэтому сторона \(NK\) равна \(\sqrt{30}\), а сторона \(MK\) равна \(4\). Угол \(N\) расположенный напротив меньшей стороны, будет иметь синус, равный \(\frac{1}{2}\). Из тригонометрической окружности мы можем найти, что угол \(N\) равен 30 градусам.