Какова длина отрезка DP, если AP = √7 и AB = 14√2, а прямоугольник ABCD задан?

Vechnaya_Zima

45

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом давайте немного разберемся в данных. У нас есть прямоугольник ABCD, в котором точка A - начало отрезка DP, точка B - конец отрезка DP, и точка C лежит на отрезке AB.

Мы знаем, что AP = √7, это значит, что длина отрезка AP равна корню из числа 7. Также, у нас есть информация о длине AB, которая равна 14√2.

Для решения этой задачи, воспользуемся теоремой Пифагора, которая связывает длины сторон прямоугольного треугольника.

1. Возьмем треугольник ADP. Этот треугольник является прямоугольным, так как один его угол прямой угол, а стороны AD и AP - это стороны прямоугольника ABCD. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка DP.

2. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, гипотенуза - это отрезок DP, а катеты - это отрезки AD и AP.

3. Величину катета AD нам нужно найти. Однако, мы можем использовать информацию о длине AB, так как точка C лежит на отрезке AB. Тогда отрезок AD можно разделить на две части: отрезок AC и отрезок CD.

4. Зная, что точка C делит отрезок AB в отношении AC:CB = 1:1, мы можем вычислить длину сегмента AC. Длина AB равна 14√2, и тогда длина AC будет равна половине длины AB. Таким образом, длина AC будет равна (1/2) * 14√2 = 7√2.

5. Зная длину AC равную 7√2, мы можем вычислить длину отрезка CD, используя информацию о длине AB. Длина отрезка CD будет равна разности длины AB и длины AC. То есть, CD = AB - AC = 14√2 - 7√2 = 7√2.

6. Теперь у нас есть длина катета AD, которую мы найдем как сумму длин AC и CD: AD = AC + CD = 7√2 + 7√2 = 14√2.

7. Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику ADP, используя найденные длины катета AD и гипотенузы DP. Будет выглядеть так: \(DP^2 = AD^2 + AP^2\).

8. Подставив значения длины AD и AP, получим \((DP)^2 = (14√2)^2 + (√7)^2\).

9. Вычислим значения в скобках: \(DP^2 = 14^2 * (√2)^2 + (√7)^2 = 14^2 * 2 + 7\).

10. Упростим выражение: \(DP^2 = 392 + 7 = 399\).

11. Чтобы найти длину отрезка DP, возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения: \(DP = \sqrt{399}\).

Таким образом, длина отрезка DP равна \(\sqrt{399}\).