Какова длина отрезка EF в параллелограмме ABCD, если известно, что точка E лежит на биссектрисе угла B, а точка F

Kosmicheskaya_Zvezda_3298

13

Чтобы найти длину отрезка EF в параллелограмме ABCD, нужно использовать свойства биссектрис углов.

В параллелограмме ABCD мы знаем, что AB = CD (потому что противоположные стороны параллелограмма равны). Допустим, AB = CD = x (примем это за некоторое значение x).

Мы также знаем, что точка E лежит на биссектрисе угла B, а точка F - на биссектрисе угла D. Для удобства обозначим точку пересечения биссектрис EF (смотри рисунок ниже).

\[
\begin{array}{c}
\overline{----}----\overline{----}\\
\multicolumn{1}{r}{B}\phantom{--}\multicolumn{3}{c}{C}\phantom{--}\multicolumn{1}{l}{A}\\
\multicolumn{1}{r}{|}\phantom{------}\multicolumn{1}{c}{|}\phantom{------}\multicolumn{1}{c}{|}\phantom{------}\multicolumn{1}{l}{|}\\
\multicolumn{1}{r}{E}\phantom{--}\multicolumn{3}{c}{F}\phantom{--}\multicolumn{1}{l}{D}\\
\overline{----}----\overline{----}\\
\end{array}
\]

Таким образом, если мы докажем, что треугольники EAB и FCD равны (EAB ≡ FCD), то можем сделать вывод, что отрезок EF является биссектрисой угла BCD.

Поскольку мы знаем, что AB = CD (обозначено как x) в параллелограмме ABCD, и BC || AD (параллельны), то треугольники EAB и FCD являются подобными по принципу угол-угол-угол (УУУ).

Теперь рассмотрим треугольники EAB и FCD. У нас есть следующая информация:
- ∠EAB и ∠FCD - углы при основании AB и CD соответственно. В силу того, что AB || CD, углы при основании являются параллельными, и поэтому равны.
- ∠AEB и ∠DFC - углы на вершине при E и F соответственно. Они также равны, так как E находится на биссектрисе угла B, а F на биссектрисе угла D.

Таким образом, треугольники EAB и FCD имеют два равных угла, а значит, они подобны.

По принципу подобия треугольников, отношение соответствующих сторон равно. В нашем случае, отношение сторон каждого треугольника можно записать следующим образом:

\[
\frac{{AE}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{x}}{{x}} = 1
\]

Теперь рассмотрим следующий факт: точка E находится на биссектрисе угла B, а точка F - на биссектрисе угла D. По определению биссектрисы, отношение расстояний от точек E и F до сторон AB и CD соответственно должно быть равно. Обозначим расстояния как h1 и h2:

\[
\frac{{h1}}{{h2}} = 1
\]

Теперь у нас есть два уравнения:
\[
\frac{{AE}}{{FC}} = 1 \quad \text{и} \quad \frac{{h1}}{{h2}} = 1
\]

Из этих уравнений следует, что
\[
AE = FC \quad \text{и} \quad h1 = h2
\]

Таким образом, отрезок EF является биссектрисой угла BCD и равен AE = FC, а значит, EF = AE = FC.

Главное, что нужно помнить, - это то, что длина отрезка EF равна длине стороны AB (и CD), которая равна 9 в данной задаче. Таким образом, длина отрезка EF равна 9. Это и является ответом на задачу.

Для наглядности, ниже представлен рисунок с обозначением длин сторон и отрезка EF.

\[
\begin{array}{c}
\overline{------}----\overline{------}\\
\multicolumn{1}{r}{B}\phantom{---}\multicolumn{3}{c}{C}\phantom{---}\multicolumn{1}{l}{A}\\
\multicolumn{1}{r}{|}\phantom{--------}\multicolumn{1}{c}{|}\phantom{--------}\multicolumn{1}{c}{|}\phantom{--------}\multicolumn{1}{l}{|}\\
\multicolumn{1}{r}{E}\phantom{---}\multicolumn{1}{c}{\longrightarrow}\phantom{------}\multicolumn{1}{c}{\longleftarrow}\phantom{------}\multicolumn{1}{l}{F}\\
\overline{------}----\overline{------}\\
\end{array}
\]

Таким образом, длина отрезка EF в параллелограмме ABCD равна 9.