Какова длина отрезка касательной между точками касания с окружностями, если радиусы окружностей составляют 8.5 и 23.5

Pelikan

53

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора и связь между радиусами и хордами окружности, проведенными из точки касания.

Как известно, теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае нашими катетами являются радиусы окружностей, а гипотенузой - отрезок касательной.

Мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, соединив центр окружностей и точку касания. Первый прямоугольный треугольник образован радиусом первой окружности, отрезком касательной и отрезком между центрами окружностей, а второй прямоугольный треугольник образован радиусом второй окружности, отрезком касательной и отрезком между центрами окружностей.

Из связи между радиусом и хордой можно сказать, что произведение одного из радиусов на длину хорды, соединяющей точку касания с центром окружности, равно квадрату радиуса другой окружности.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\(8.5 \cdot x = 23.5 \cdot (65 - x)\),
где \(x\) - отрезок касательной от точки касания до центра первой окружности.

Решим это уравнение:

\[8.5x = 23.5(65 - x)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[8.5x = 1527.5 - 23.5x\]

Соберем переменные в одну сторону:

\[8.5x + 23.5x = 1527.5\]

\[32x = 1527.5\]

Разделим обе части на 32:

\[x = \frac{1527.5}{32}\]

\[x \approx 47.7\]

Теперь, чтобы найти длину отрезка касательной, можем подставить найденное значение \(x\) в одно из двух уравнений:

\[x = \frac{23.5 \cdot (65 - x)}{8.5}\]

\[x = \frac{23.5 \cdot (65 - 47.7)}{8.5}\]

\[x = \frac{23.5 \cdot 17.3}{8.5}\]

\[x \approx 47.7\]

Таким образом, длина отрезка касательной между точками касания с окружностями составляет примерно 47.7 см.

Тогда правильный ответ - 1) 63 или 56.