Нужно построить точки В1 и С1, которые являются симметричными вершинам В и С треугольника АВС относительно вершины

Zvezdopad

34

Шаг 1: Для начала, давайте разберемся, как построить симметричные точки относительно заданной точки. Чтобы построить точку \(B_1\), которая является симметричной вершине \(B\) относительно точки \(A\), мы можем использовать следующий алгоритм:
1. Рисуем отрезок \(AB\) и отмечаем точку \(M\) на этом отрезке.
2. Строим середину отрезка \(AM\) и обозначаем ее \(O\).
3. Рисуем луч, проходящий через точку \(O\) и параллельный отрезку \(AB\).
4. Проводим перпендикуляр к лучу, проходящий через точку \(B\).
5. Там, где перпендикуляр пересекает луч, находится точка \(B_1\), которая является симметричной точкой \(B\) относительно точки \(A\).

Шаг 2: Аналогично, чтобы построить точку \(C_1\), которая является симметричной вершине \(C\) относительно точки \(A\), мы можем использовать тот же алгоритм, что мы использовали для точки \(B_1\).

Шаг 3: Чтобы доказать, что четырехугольник \(BCB_1C_1\) является параллелограммом, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны в параллелограмме равны и параллельны.

Давайте докажем это:
Мы уже построили точку \(B_1\) как симметричную точке \(B\) относительно точки \(A\), для построения точки \(C_1\) также мы использовали аналогичный алгоритм, симметричный точке \(C\) относительно точки \(A\). Теперь обратимся к нашему построению, чтобы доказать, что \(BCB_1C_1\) - параллелограмм:

1. Точка \(B_1\) симметрична точке \(B\) относительно точки \(A\). Значит, отрезок \(AB_1\) равен отрезку \(AB\).
2. Точка \(C_1\) симметрична точке \(C\) относительно точки \(A\). Значит, отрезок \(AC_1\) равен отрезку \(AC\).

Таким образом, \(\overline{AB_1}=\overline{AB}\) и \(\overline{AC_1}=\overline{AC}\).

3. Также из построения следует, что луч, проходящий через точку \(O\) и параллельный отрезку \(\overline{AB}\), также параллелен отрезку \(\overline{BC}\).

Теперь у нас есть параллельные стороны:

\(\overline{AB_1} \parallel \overline{BC}\) и \(\overline{AC_1} \parallel \overline{BC}\).

4. Мы также знаем, что \(\overline{AB_1}=\overline{AB}\) и \(\overline{AC_1}=\overline{AC}\).

Таким образом, у нас есть параллельные стороны равной длины:

\(\overline{AB_1} \parallel \overline{BC}\) и \(\overline{AC_1} \parallel \overline{BC}\), при этом \(\overline{AB_1}=\overline{AB}\) и \(\overline{AC_1}=\overline{AC}\).

Согласно свойству параллелограмма, мы можем заключить, что четырехугольник \(BCB_1C_1\) является параллелограммом.

Вот так мы можем построить точки \(B_1\) и \(C_1\), которые являются симметричными вершинами \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) относительно вершины \(A\), и доказать, что четырехугольник \(BCB_1C_1\) является параллелограммом.