Какова длина отрезка между концами проекции наклонных AD и DC на плоскости a, если эти проекции равны соответственно

Яблонька

66

Для решения этой задачи нам понадобится знание тригонометрии и геометрии. Давайте разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем длину отрезка AD.
Известно, что проекция наклонной AD на плоскость a составляет 8 см. Это означает, что AD является гипотенузой прямоугольного треугольника в плоскости a. Поскольку угол между наклонной и плоскостью составляет 120 градусов, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины AD.

Шаг 2: Применим косинусное правило.
Используя косинусное правило для нашего треугольника, мы можем найти длину AD:

\[
AD^2 = 8^2 + DC^2 - 2 \cdot 8 \cdot DC \cdot \cos(120^\circ)
\]

Поскольку DC равно 6 см, мы можем подставить это значение в формулу:

\[
AD^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)
\]

Шаг 3: Вычислим длину AD.
Произведем вычисления:

\[
AD^2 = 64 + 36 - 96 \cdot \cos(120^\circ)
\]

\[
AD^2 = 100 - 96 \cdot \cos(120^\circ)
\]

\[
AD^2 = 100 - 96 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]

\[
AD^2 = 100 + 48
\]

\[
AD^2 = 148
\]

Таким образом, длина отрезка AD равна \(\sqrt{148}\) см.

Шаг 4: Найдем длину отрезка DC.
Из условия задачи известно, что проекция наклонной DC на плоскость a равна 6 см. Поскольку угол между наклонной и плоскостью составляет 120 градусов, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины DC.

\[
DC = 6 \, \text{см}
\]

Шаг 5: Найдем длину отрезка между концами проекций.
Искомая величина - длина отрезка между концами проекций AD и DC. Мы можем найти ее, вычтя длину DC от длины AD:

\[
\text{Длина отрезка} = \text{Длина AD} - \text{Длина DC}
\]

\[
\text{Длина отрезка} = \sqrt{148} - 6 \, \text{см}
\]

Таким образом, длина отрезка между концами проекций AD и DC на плоскости a составляет \(\sqrt{148} - 6\) см.