Какова длина отрезка MN? В треугольнике ABC с проекциями MN, NP и KP соответственно на плоскость α, точка D лежит

Утконос

18

Для решения этой задачи, нам нужно использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.

Давайте рассмотрим треугольники ABC и CKN. Они подобны по двум сторонам, так как у них угол при вершине С общий и углы ACB и CKН равны, так как это вертикальные углы. Поэтому отношение длин сторон будет одинаково:

\[\frac{{AB}}{{CK}} = \frac{{AC}}{{CN}}\]

Заметим, что треугольники ABC и ADB также подобны, так как у них угол при вершине A общий и углы ABC и ADB равны, так как это вертикальные углы. Поэтому отношение длин сторон будет одинаково:

\[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{DC}}\]

Теперь мы можем записать систему уравнений и решить её. Заменим значения длин сторон:

\[
\begin{cases}
\frac{{AB}}{{CK}} = \frac{{AC}}{{CN}} \\
\frac{{AB}}{{4}} = \frac{{AC}}{{CN}} \\
\frac{{AB}}{{6}} = \frac{{AC}}{{6-N}}
\end{cases}
\]

Умножим оба уравнения системы на коэффициенты так, чтобы получить одинаковые знаменатели:

\[
\begin{cases}
6 \cdot AB = AC \cdot CK \\
4 \cdot AB = AC \cdot (6-N)
\end{cases}
\]

Распишем уравнения:

\[
\begin{cases}
6 \cdot AB = AC \cdot 6 \\
4 \cdot AB = AC \cdot 6 - AC \cdot N
\end{cases}
\]

Теперь выразим AC из первого уравнения:

\[AC = \frac{{6 \cdot AB}}{{6}} = AB\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[4 \cdot AB = AB \cdot 6 - AB \cdot N\]

Упростим:

\[4 \cdot AB = AB \cdot (6-N)\]

Отсюда следует, что \(4 = 6 - N\). Решим это уравнение:

\[4 = 6 - N\]
\[N = 6 - 4\]
\[N = 2\]

Таким образом, длина отрезка MN равна 2 см.