Какова длина прямоугольника, если его периметр равен 1 м 60 см и площадь равна 15 дм²?

Мороженое_Вампир

25

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулами для нахождения периметра и площади прямоугольника. Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон, а площадь равна произведению его сторон.

Пусть длина прямоугольника будет обозначена буквой \(a\), а ширина - буквой \(b\).

Тогда по условию задачи, периметр равен 1 м 60 см, что составляет 160 см. Мы можем записать это в уравнении:

\[2a + 2b = 160\]

Также, площадь прямоугольника равна 15 дм², что составляет 150 см². Мы можем записать это в уравнении:

\[ab = 150\]

Используя эти уравнения, мы можем решить систему уравнений и найти значения для длины и ширины прямоугольника.

Способ 1: Метод подстановки
Мы можем решить одно из уравнений относительно переменной \(a\) или \(b\) и подставить это значение в другое уравнение. Давайте решим первое уравнение относительно \(a\):

\[2a + 2b = 160\]
\[2a = 160 - 2b\]
\[a = 80 - b\]

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение:

\[ab = 150\]
\[(80-b)b = 150\]
\[80b - b^2 = 150\]
\[b^2 - 80b + 150 = 0\]

Теперь у нас есть уравнение квадратного типа, которое мы можем решить с помощью дискриминанта или факторизации.

Давайте решим его с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = (-80)^2 - 4(1)(150)\]
\[D = 6400 - 600\]
\[D = 5800\]

Так как дискриминант больше нуля, то у нас есть два корня:

\[b_1 = \frac{-(-80) + \sqrt{5800}}{2(1)} = 25\]
\[b_2 = \frac{-(-80) - \sqrt{5800}}{2(1)} = 55\]

Теперь, для каждого значения \(b\), мы можем найти соответствующие значения \(a\) используя уравнение \(a = 80 - b\):

\[a_1 = 80 - 25 = 55\]
\[a_2 = 80 - 55 = 25\]

Таким образом, мы получили две пары значений для длины и ширины прямоугольника: \(a_1 = 55\) и \(b_1 = 25\), а также \(a_2 = 25\) и \(b_2 = 55\).

Способ 2: Метод факторизации
Мы можем также решить уравнение путем его факторизации, приведя его к виду \((x-a)(x-b) = 0\) и находя корни по очереди.

\[b^2 - 80b + 150 = 0\]
\((b-25)(b-55) = 0\)

Таким образом, мы получаем два возможных значения для \(b\): \(b_1 = 25\) и \(b_2 = 55\).

Теперь мы можем найти соответствующие значения для \(a\) используя \(a = 80 - b\):

\[a_1 = 80 - 25 = 55\]
\[a_2 = 80 - 55 = 25\]

Итак, мы получаем те же пары значений для длины и ширины прямоугольника: \(a_1 = 55\) и \(b_1 = 25\), а также \(a_2 = 25\) и \(b_2 = 55\).

Таким образом, длина прямоугольника может быть равна 55 см, а ширина - 25 см, или длина может быть равна 25 см, а ширина - 55 см.