Какова длина прямоугольного параллелепипеда, если площадь одной из его боковых граней равна 16 см², а его объем

Петровна

56

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся известными формулами для площади боковой поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна произведению двух его смежных сторон. Пусть эти стороны равны \(a\) и \(b\), тогда площадь боковой поверхности выражается следующим образом:

\[ S = 2ab \]

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех сторон - длины (\(l\)), ширины (\(w\)) и высоты (\(h\)):

\[ V = lwh \]

На основе данных из задачи у нас есть площадь боковой поверхности и объем:

\[ S = 16 \, \text{см}^2 \]
\[ V = 96 \, \text{см}^3 \]

Мы также знаем, что площадь боковой поверхности равна произведению двух смежных сторон, поэтому:

\[ S = 2ab \]

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти одну из сторон параллелепипеда. Для простоты, давайте обозначим эту неизвестную сторону как \(a\).

\[ S = 2ab \Rightarrow 16 = 2ab \Rightarrow ab = 8 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ ab = 8 \]
\[ V = lwh = 96 \]

Мы можем решить эти уравнения методом подстановки. Возьмем первое уравнение \(ab = 8\), найдем \(b\) через \(a\). Затем подставим эту найденную \(b\) во второе уравнение \(V = lwh = 96\).

Подставив \(b = \frac{8}{a}\) во второе уравнение \(V = lwh = 96\), получаем:

\[ V = lw \cdot \frac{8}{a} = 96 \]

Теперь у нас есть уравнение только с одной неизвестной \(a\). Разрешим его:

\[ lw \cdot \frac{8}{a} = 96 \Rightarrow lw = \frac{96a}{8} \Rightarrow lw = 12a \]

После сокращения на \(a\) получаем:

\[ lw = 12a \Rightarrow lw = 12 \]

Теперь у нас есть уравнение связывающее только \(l\) и \(w\).

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его сторон \(V = lwh\), и по условию задачи у нас есть значение объема:

\[ V = lwh = 96 \]

Подставив \(lw = 12\) в это уравнение, получаем:

\[ 12h = 96 \Rightarrow h = \frac{96}{12} = 8 \]

Таким образом, мы определили все стороны прямоугольного параллелепипеда:

\(a = 4\) см

\(b = 2\) см

\(h = 8\) см

Длина прямоугольного параллелепипеда равна \(l = \frac{V}{wh} = \frac{96}{4 \cdot 2} = 12\) см.

Итак, длина прямоугольного параллелепипеда равна 12 см.