Чему равно произведение корня из -25, возведенного в степень 3, и корня

Shmel

40

Для начала давайте разберёмся с выражением внутри корня. Корень из отрицательного числа не имеет действительных значений в обычной арифметике, поэтому мы должны использовать мнимые числа.

Корень из -25 можно записать как \(\sqrt{-25}\). Заметим, что \(-25\) можно представить как произведение числа \(-1\) и числа \(25\), то есть \(\sqrt{-25} = \sqrt{-1 \cdot 25}\).

Теперь мы можем разложить корень на два множителя: \(\sqrt{-1} \cdot \sqrt{25}\). Корень из \(25\) равен \(5\), поэтому наша исходная задача сократилась до вычисления \(\sqrt{-1}\) и возведения его в степень 3.

Выражение \(\sqrt{-1}\) называется мнимой единицей и обозначается буквой \(i\). Таким образом, \(\sqrt{-1} = i\).

Теперь осталось возвести мнимую единицу \(i\) в степень 3. Правило возведения \(i\) в степень гласит, что \(i\) в степени, кратной 4, будет равно \(1\). В данном случае мы должны возвести в степень 3, которая не кратна 4.

Чтобы найти итоговое значение, нам необходимо разложить степень \(i^3\) на произведение \(i\) и \(i^2\). Заметим, что \(i^2\) равно \((-1) \cdot (-1)\), что равняется \(1\). Таким образом, \(i^3 = i \cdot i^2 = i \cdot 1 = i\).

Итак, произведение корня из -25, возведённого в степень 3, и корня из 25 равно \((\sqrt{-25})^3 \cdot \sqrt{25} = (i)^3 \cdot 5 = i \cdot 5 = 5i\).

Ответ: \(5i\).