Какова длина радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если один из катетов равен 30 см, а гипотенуза

Murlyka

9

Чтобы найти длину радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, нам понадобится использовать свойство, что точка касания окружности с треугольником лежит на его медиане. Давайте вначале вспомним формулу для нахождения медианы в прямоугольном треугольнике. В этом треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Пусть гипотенуза треугольника равна $c$, а один из катетов равен 30 см. По теореме Пифагора, мы можем найти второй катет по формуле:

$$a^2=c^2-b^2$$

где $a$ - второй катет, $c$ - гипотенуза, $b$ - первый катет.

Зная, что один из катетов равен 30 см, мы можем записать:

$${30}^2=c^2-b^2$$

Теперь найдем медиану $m$. По свойству прямоугольного треугольника, медиана $m$ к гипотенузе $c$ равна половине длины гипотенузы. То есть:

$$m=\frac{c}{2}$$

Мы знаем, что точка касания окружности треугольником лежит на медиане. Поэтому, если мы обозначим радиус окружности как $r$, то получим:

$$m=r$$

Теперь у нас есть два уравнения:

$${30}^2=c^2-b^2$$
$$m=\frac{c}{2}$$

Мы можем решить эти уравнения системой, чтобы найти длину радиуса. Давайте выполним вычисления.

Из первого уравнения получаем:

$$b^2=c^2-{30}^2$$

Подставим это во второе уравнение:

$$m=\frac{c}{2}=r$$

Таким образом, у нас есть:

$$c=2r$$

Подставим значение $c$ в уравнение для $b$:

$$b^2=(2r{)}^2-{30}^2$$

Упростим это уравнение:

$$b^2=4r^2-900$$

Теперь мы можем решить уравнение относительно $r$:

$$4r^2-b^2=900$$

$$4r^2=b^2+900$$

$$r^2=\frac{b^2+900}{4}$$

$$r=\sqrt{\frac{b^2+900}{4}}$$

В этом уравнении, чтобы найти радиус, необходимо знать значение первого катета $b$. Если у вас есть это значение, вы можете подставить его в выражение и решить уравнение для нахождения радиуса окружности.

Таким образом, длина радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, будет равна $\sqrt{\frac{b^2+900}{4}}$, где $b$ - длина одного из катетов.