Какова длина радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если один из катетов равен 30 см, а гипотенуза

Murlyka

9

Чтобы найти длину радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, нам понадобится использовать свойство, что точка касания окружности с треугольником лежит на его медиане. Давайте вначале вспомним формулу для нахождения медианы в прямоугольном треугольнике. В этом треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Пусть гипотенуза треугольника равна \(c\), а один из катетов равен 30 см. По теореме Пифагора, мы можем найти второй катет по формуле:

\[a^2 = c^2 - b^2\]

где \(a\) - второй катет, \(c\) - гипотенуза, \(b\) - первый катет.

Зная, что один из катетов равен 30 см, мы можем записать:

\[30^2 = c^2 - b^2\]

Теперь найдем медиану \(m\). По свойству прямоугольного треугольника, медиана \(m\) к гипотенузе \(c\) равна половине длины гипотенузы. То есть:

\[m = \frac{c}{2}\]

Мы знаем, что точка касания окружности треугольником лежит на медиане. Поэтому, если мы обозначим радиус окружности как \(r\), то получим:

\[m = r\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[30^2 = c^2 - b^2\]
\[m = \frac{c}{2}\]

Мы можем решить эти уравнения системой, чтобы найти длину радиуса. Давайте выполним вычисления.

Из первого уравнения получаем:

\[b^2 = c^2 - 30^2\]

Подставим это во второе уравнение:

\[m = \frac{c}{2} = r\]

Таким образом, у нас есть:

\[c = 2r\]

Подставим значение \(c\) в уравнение для \(b\):

\[b^2 = (2r)^2 - 30^2\]

Упростим это уравнение:

\[b^2 = 4r^2 - 900\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(r\):

\[4r^2 - b^2 = 900\]

\[4r^2 = b^2 + 900\]

\[r^2 = \frac{b^2 + 900}{4}\]

\[r = \sqrt{\frac{b^2 + 900}{4}}\]

В этом уравнении, чтобы найти радиус, необходимо знать значение первого катета \(b\). Если у вас есть это значение, вы можете подставить его в выражение и решить уравнение для нахождения радиуса окружности.

Таким образом, длина радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, будет равна \(\sqrt{\frac{b^2 + 900}{4}}\), где \(b\) - длина одного из катетов.