Какова длина rc, если прямая a пересекает плоскость β в точке c и образует с плоскостью угол 60°? Точка p принадлежит

Valentinovna

27

Для начала разберем, что представляют собой данные в задаче. У нас есть прямая a, плоскость β и точка c, где прямая a пересекает плоскость β. Также есть точка p, которая лежит на прямой a, и точка r, которая является проекцией точки p на плоскость β.

Нам необходимо найти длину отрезка rc, то есть расстояние от точки r до точки c.

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими свойствами. Заметим, что отрезок rc является высотой треугольника rpc, так как он перпендикулярен плоскости β.

Также нам дано, что угол между прямой a и плоскостью β равен 60°. Это означает, что угол rpa также равен 60°, так как оба угла лежат на одной плоскости и пересекаются с прямой a.

Теперь мы можем использовать свойства треугольника rpc для нахождения длины отрезка rc. В треугольнике rpc, угол rpa равен 60°, а угол rpc равен 90°, так как отрезок rc является высотой. Значит, треугольник rpc является прямоугольным треугольником.

Мы можем воспользоваться тригонометрическими отношениями, чтобы найти длину отрезка rc. В данном случае, нам может пригодиться тангенс угла rpa (60°), так как у нас известны значения противолежащего катета (длина отрезка pr) и прилежащего катета (длина отрезка pc).

Тангенс угла rpa можно выразить следующим образом:
\[\tan(60°) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\]

Мы знаем, что отрезок pc равен, но нам неизвестна его длина. Пусть \(x\) - это длина отрезка rc. Тогда длина отрезка pr равна \(x + \text{{длина отрезка pc}}\), так как отрезок rc является суммой отрезков pr и pc.

Заменим известные значения в уравнении тангенса:
\[\tan(60°) = \frac{{x + \text{{длина отрезка pc}}}}{{\text{{длина отрезка pc}}}}\]

Упростим уравнение, заменив значение тангенса 60°:
\[\sqrt{3} = \frac{{x + \text{{длина отрезка pc}}}}{{\text{{длина отрезка pc}}}}\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти длину отрезка pc. Для этого перенесем длину отрезка pc в одну часть уравнения:
\[\sqrt{3}\cdot \text{{длина отрезка pc}} = x + \text{{длина отрезка pc}}\]

Получаем:
\[(\sqrt{3}-1)\cdot \text{{длина отрезка pc}} = x\]

Теперь мы можем найти длину отрезка pc, разделив обе части уравнения на \(\sqrt{3}-1\):
\[\text{{длина отрезка pc}} = \frac{x}{{\sqrt{3}-1}}\]

Таким образом, длина отрезка rc равна \(\frac{x}{{\sqrt{3}-1}}\).