Какова длина ребра куба, если диагональ боковой грани составляет 8 см и наклонена к плоскости основания куба под углом

Morskoy_Briz

66

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора и геометрические свойства куба.

Пусть ребро куба равно \(x\) см. Так как наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов, то высота боковой грани будет равна \(x\cos(45^\circ)\). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали боковой грани:

\[
\text{Длина диагонали боковой грани} = \sqrt{x^2 + (x\cos(45^\circ))^2}
\]

Учитывая, что длина диагонали боковой грани составляет 8 см, мы можем записать следующее уравнение:

\[
\sqrt{x^2 + (x\cos(45^\circ))^2} = 8
\]

Для удобства вычислений, мы можем заменить \(\cos(45^\circ)\) на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[
\sqrt{x^2 + \left(x\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = 8
\]

Раскрывая квадраты и объединяя подобные слагаемые, получаем:

\[
\sqrt{x^2 + \frac{x^2}{2}} = 8
\]

\[
\sqrt{\frac{3x^2}{2}} = 8
\]

Далее, возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[
\frac{3x^2}{2} = 8^2
\]

\[
\frac{3x^2}{2} = 64
\]

Умножаем обе стороны на \(\frac{2}{3}\):

\[
x^2 = \frac{128}{3}
\]

Извлекаем квадратный корень:

\[
x = \sqrt{\frac{128}{3}}
\]

Таким образом, длина ребра куба равна \(\sqrt{\frac{128}{3}}\) см. Примерно равняется 7.21 см.