Какова длина средней линии прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность с радиусом 6 см, если длина большей

Аида_4765

61

Для решения данной задачи, нам понадобится рассмотреть свойства прямоугольной трапеции и окружности, вписанной в нее.

Прямоугольная трапеция имеет две параллельные боковые стороны, из которых одна является основанием большей длины (пусть ее длина будет \(a\)), а другая - основанием меньшей длины (пусть ее длина будет \(b\)). Также трапеция имеет две неравные наклонные стороны.

Окружность, вписанная в трапецию, касается всех ее сторон. Пусть \(r\) будет радиусом вписанной окружности.

Для решения задачи нам необходимо найти длину средней линии трапеции. Чтобы найти ее, нам понадобится использовать формулу для радиуса окружности, вписанной в трапецию:

\[r = \frac{{2P}}{{a + b}}\]

где \(P\) - периметр трапеции.

Периметр трапеции \(P\) можно найти как сумму всех сторон:

\[P = a + b + c + d\]

где \(c\) и \(d\) - неравные наклонные стороны трапеции.

Из свойства равенства длин наклонных сторон прямоугольной трапеции, имеем:

\(c = d\).

Тогда периметр трапеции можно записать как:

\[P = a + b + c + c = a + b + 2c\]

Подставляя это в формулу для радиуса окружности, получаем:

\[r = \frac{{2(a + b + 2c)}}{{a + b}}\]

Мы знаем, что радиус окружности \(r\) равен 6 см, поэтому можем записать уравнение:

\[6 = \frac{{2(a + b + 2c)}}{{a + b}}\]

Перейдем к решению уравнения:

1. Раскроем скобки:

\[6 = \frac{{2a + 2b + 4c}}{{a + b}}\]

2. Умножим обе части уравнения на \(a + b\):

\[6(a + b) = 2a + 2b + 4c\]

3. Раскроем скобки:

\[6a + 6b = 2a + 2b + 4c\]

4. Далее, выразим \(c\) через \(a\) и \(b\):

\[6a + 6b - 2a - 2b = 4c\]

5. Упростим:

\[4a + 4b = 4c\]

6. Разделим обе части уравнения на 4:

\[a + b = c\]

Таким образом, мы получили, что \(c\) равно сумме сторон \(a\) и \(b\).

Теперь, чтобы найти длину средней линии трапеции, которую мы обозначим за \(m\), мы можем использовать следующую формулу:

\[m = \sqrt{ab}\]

Подставляем значения \(a\) и \(b\):

\[m = \sqrt{a(a + b)}\]

Так как \(c = a + b\), то можно записать:

\[m = \sqrt{ac}\]

Теперь подставляем значение \(c = a + b\):

\[m = \sqrt{a(a + (a + b))}\]

Складываем подобные слагаемые:

\[m = \sqrt{a(2a + 2b)}\]

Упрощаем выражение:

\[m = \sqrt{2a^2 + 2ab}\]

Теперь мы можем записать окончательный ответ. Длина средней линии прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность с радиусом 6 см при условии, что длина большей боковой стороны трапеции равна \(a\), будет равна:

\[m = \sqrt{2a^2 + 2ab}\]