Какова длина стороны AB, если радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен 2√3 и угол ACB составляет

Муравей

12

Чтобы найти длину стороны AB треугольника ABC, нам необходимо использовать свойства окружностей и треугольников. Давайте выполним следующий пошаговый анализ:

Шаг 1: Определение свойств окружности
Окружность, описанная вокруг треугольника ABC, является окружностью, проходящей через все вершины треугольника. Радиус этой окружности (обозначим его через R) является расстоянием от центра окружности до любой точки на окружности. В нашем случае радиус R равен 2√3.

Шаг 2: Определение длины стороны ACB
Нам дан угол ACB, который составляет 120 градусов. Заметим, что этот угол соответствует центральному углу окружности, который опирается на дугу между точками A и B. Так как угол в центре окружности является двойным углом угла, опирающегося на ту же дугу, а в нашем случае этот угол равен 120 градусам, то угол CAB равен 60 градусов.

Шаг 3: Применение теоремы синусов
Для нахождения длины стороны AB мы можем применить теорему синусов, которая гласит:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
где a, b и c - стороны треугольника, а A, B и C - противолежащие углы соответственно.

В нашем случае, мы ищем длину стороны AB, поэтому применим теорему синусов следующим образом:
\[\frac{AB}{\sin CAB} = \frac{AC}{\sin ACB}\]

Шаг 4: Вычисление длины стороны AB
Мы знаем, что угол CAB равен 60 градусам, а угол ACB равен 120 градусам. Подставим эти значения в формулу:

\[\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 120^\circ}\]

Так как мы знаем, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем продолжить вычисления:

\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упрощая выражение, мы получаем:

\[\frac{AB}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}\]

Заметим, что \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\) в числителе и знаменателе сокращается и остается:

\[AB = AC\]

Получается, что длина стороны AB равна длине стороны AC.

Ответ: Длина стороны AB равна длине стороны AC, которая обозначена через радиус R в данной задаче. Так как радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен 2√3, то длина стороны AB также равна 2√3.