Какова длина стороны AB треугольника ABC, если AC = 9,6 см, угол B равен 30° и угол C равен 45°?

Pauk

29

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о тригонометрии и теореме синусов. Давайте разберемся, как найти длину стороны AB.

В данной задаче нам известны длины двух сторон треугольника AC и углы B и C. Нам нужно найти длину стороны AB. Используя теорему синусов, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{AB}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C}\]

Заметим, что угол B равен 30°, что соответствует \(\frac{\pi}{6}\) радиан. Угол C равен 45°, что соответствует \(\frac{\pi}{4}\) радиан.

Подставив известные значения в формулу, мы можем записать:

\[\frac{AB}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{9,6}{\sin \frac{\pi}{4}}\]

Рассчитаем значения синусов:

\[\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\]
\[\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Подставив эти значения, получим:

\[\frac{AB}{\frac{1}{2}} = \frac{9,6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Для удобства вычислений, мы можем представить \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) как \(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}\), что равно \(\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2 \cdot 2}\) или \(\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{4}\):

\[\frac{AB}{\frac{1}{2}} = \frac{9,6}{\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{4}}\]

Очистим дроби, умножив обе части уравнения на числитель и знаменатель дроби слева на 2:

\[2 \cdot AB = \frac{9,6 \cdot 4}{\sqrt{2} \cdot 2}\]

Упростив выражение, получим:

\[2 \cdot AB = \frac{38,4}{\sqrt{2}}\]

Чтобы найти значение AB, разделим обе части уравнения на 2:

\[AB = \frac{38,4}{2 \cdot \sqrt{2}}\]

Продолжая упрощать и вычислять, получим:

\[AB = \frac{38,4}{2 \sqrt{2}} = \frac{38,4}{2 \cdot 1,414} \approx 13,65\]

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC, при данных условиях, составляет около 13,65 см.