Найдите длину медианы, проведенной из заданной вершины, в треугольнике с вершинами а(1; 4), в(3; -9) и с(-5

Arsen

55

Чтобы найти длину медианы, проведенной из заданной вершины, в треугольнике, нам понадобятся знания о медианах и формулах для нахождения длин отрезков.

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для нахождения длины медианы нам необходимо знать координаты вершин треугольника.

В данном случае, нам даны координаты вершин треугольника: а(1; 4), в(3; -9) и с(-5; 2).

Чтобы найти середину стороны треугольника, мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, которая является серединой отрезка между двумя заданными точками. Формула для нахождения середины отрезка имеет вид:
\[x_{\text{mid}} = \frac{x_1 + x_2}{2}\]
\[y_{\text{mid}} = \frac{y_1 + y_2}{2}\]

Теперь найдём координаты середины стороны AB:

\[x_{\text{midAB}} = \frac{1 + 3}{2} = 2\]
\[y_{\text{midAB}} = \frac{4 + -9}{2} = -\frac{5}{2}\]

Таким образом, координаты середины стороны AB равны (2; -5/2).

Теперь, используя найденные координаты, мы можем найти длину медианы, проведенной из вершины C. Для этого нам потребуется нахождение длины отрезка между двумя заданными точками. Формула для нахождения длины отрезка имеет вид:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Теперь найдем длину медианы, проведенной из вершины C, к середине стороны AB:

\[d_{\text{с}} = \sqrt{{(-5 - 2)^2 + (2 - (-5/2))^2}}\]
\[d_{\text{с}} = \sqrt{{(-7)^2 + (9/2)^2}}\]
\[d_{\text{с}} = \sqrt{{49 + \frac{81}{4}}}\]

Теперь нам нужно упростить полученное выражение для длины медианы:
\[d_{\text{с}} = \sqrt{{\frac{196}{4} + \frac{81}{4}}}\]
\[d_{\text{с}} = \sqrt{{\frac{277}{4}}}\]
\[d_{\text{с}} = \frac{\sqrt{277}}{2}\]

Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины C, составляет \(\frac{\sqrt{277}}{2}\).