Яка довжина радіуса кола, вписаного у рівнобедрений трикутник з кутом 120° при вершині і бічною стороною?

Chupa

1

Для решения данной задачи воспользуемся свойством вписанного угла. Рассмотрим рисунок:

      /\

    /       \

  /__       _\

 A         O       B 

Пусть точка O - центр вписанной окружности, а AB - основание рисуночного равнобедренного треугольника.

Из свойств вписанных углов известно, что угол AOB равен половине центрального угла BOA, и он равен 120°. Так как треугольник AOB - равнобедренный, значит, угол ABO равен углу BAO, и они оба равны (180° - 120°)/2 = 30°.

Раз угол AOB равен 120°, а угол ABO равен 30°, то угол BOA также равен 30°. Таким образом, получаем, что треугольник BOA является прямоугольным треугольником с углами BOA = 30°, OBA = 90° и BAO = 60°.

Теперь давайте введем обозначение для радиуса окружности, вписанной в данный треугольник. Пусть он равен r.

По свойству прямоугольного треугольника BOA, имеем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\tan(60°) = \dfrac{r}{BO} \\
\tan(30°) = \dfrac{r}{AO} \\
\end{cases}
\]

Определить значения тангенсов можно с помощью таблицы значений тригонометрических функций или калькулятора. Тангенс угла 60° равен \(\sqrt{3}\), а тангенс 30° равен \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

Теперь можем записать:
\[
\begin{cases}
\sqrt{3} = \dfrac{r}{BO} \\
\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{r}{AO} \\
\end{cases}
\]

Обратимся к свойству равнобедренных треугольников. В таком треугольнике BC = AC, поэтому BO = CO.

Основываясь на этом, можем заметить, что треугольник BOC является равносторонним. В таком треугольнике все стороны равны между собой, поэтому BO = CO = r.

Теперь вернемся к системе уравнений:
\[
\begin{cases}
\sqrt{3} = \dfrac{r}{BO} \\
\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{r}{AO} \\
\end{cases}
\]

Подставляя BO = CO = r, получаем:
\[
\begin{cases}
\sqrt{3} = \dfrac{r}{r} \\
\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{r}{AO} \\
\end{cases}
\]

Упрощая уравнения, находим:
\[
\begin{cases}
\sqrt{3} = 1 \\
\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{r}{AO} \\
\end{cases}
\]

Первое уравнение является ложным, поэтому мы не можем точно определить значение радиуса по такому способу.

Можно лишь говорить, что радиус окружности, вписанной в данный треугольник, будет меньше, чем значение r, рассчитанное по уравнениям.

Данный метод не позволяет найти конкретное значение радиуса, но дает нам некоторую информацию о его отношении относительно стороны AO.